[論文レビュー] The similarity degree of an operator algebra

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 1997

Advanced Topics in Algebra被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、単位的作用素代数 $ A $ の類似度 $ d(A) $ を導入する。これは、有界なホモモルフィズムがどれほど収縮的であるかを測る類似度関数 $ \Phi(c) $ が、$ c > 1 $ に対して $ Kc^\alpha $ 以下に成長するような最小の指数 $ \alpha $ として定義される。主な結果として、$ d(A) $ が常に整数であることが示され、適切な一様代数および核型 $ C^* $-代数の新しい特徴付けが与えられるとともに、長年のアーベル群表現に関する問題に対する部分的解決が提示される。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital operator algebra. Let us assume that every {\it bounded\/} unital homomorphism $u\colon \ A o B(H)$ is similar to a {\it contractive\/} one. Let $ ext{ m Sim}(u) = \inf\{\|S\|\, \|S^{-1}\|\}$ where the infimum runs over all invertible operators $S\colon \ H o H$ such that the ``conjugate'' homomorphism $a o S^{-1}u(a)S$ is contractive. Now for all $c>1$, let $Φ(c) = \sup ext{ m Sim}(u)$ where the supremum runs over all unital homomorphism $u\colon\ A o B(H)$ with $\|u\|\le c$. Then, there is $α\ge 0$ such that for some constant $K$ we have: $$Φ(c) \le Kc^α.\leqno (*)\qquad \forall c>1$$ Moreover, the smallest $α$ for which this holds is an integer, denoted by $d(A)$ (called the similarity degree of $A$) and $(*)$ still holds for some $K$ when $α=d(A)$. Among the applications of these results, we give new characterizations of proper uniform algebras on one hand, and of nuclear $C^*$-algebras on the other. Moreover, we obtain a characterization of amenable groups which answers (at least partially) a question on group representations going back to a 1950 paper of Dixmier.

研究の動機と目的

• 単位的作用素代数 $ A $ の類似度 $ d(A) $ を定義し、その性質を調べること。これは、有界なホモモルフィズムがどれほど収縮的であるかの類似度を定量的に測るものである。
• 類似度関数 $ \Phi(c) $ の鋭い多項式的成長バウンドを確立すること。ここで $ \Phi(c) $ は、すべての $ c $-有界な単位的ホモモルフィズム $ u $ における $ \text{Sim}(u) $ の上界として定義される。
• 類似度 $ d(A) $ の有限性を用いて、適切な一様代数および核型 $ C^* $-代数を特徴づける理論を適用すること。
• 1950年代にディクスミエが提起した群表現に関する長年の問題に対して、類似度とアーベル性の関連を用いて部分的解決を提示すること。

提案手法

• $ \text{Sim}(u) = \inf\{ \|S\| \|S^{-1}\| \} $ を定義し、ここで $ S $ は有界ホモモルフィズム $ u $ を収縮的なものに共役化するものとする。
• $ \Phi(c) = \sup \text{Sim}(u) $ を、すべての単位的ホモモルフィズム $ u: A \to B(H) $ で $ \|u\| \leq c $ を満たすものについて定義し、$ c > 1 $ におけるその成長率を分析する。
• $ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $ を満たすような定数 $ K $ が存在することを証明し、そのような $ \alpha $ の最小値が整数であることを示し、$ d(A) $ をこの最小指数として定義する。
• 作用素空間の技法と拡張理論を用いて、ホモモルフィズムにおける類似度定数の成長を制御する。
• $ C^* $-代数および一様代数に理論を適用し、$ d(A) = 0 $ が $ A $ が核型または適切な一様代数であることと同値であることを示す。
• 類似度と群表現を関連づけ、$ d(A) = 0 $ が群 $ C^* $-代数においてアーベル性を意味することを示し、ディクスミエの問題に応答する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的ホモモルフィズム $ u: A \to B(H) $ に対して、$ \|u\| $ を関数としての類似度定数 $ \text{Sim}(u) $ の最小成長率は何か？
• RQ2 類似度 $ d(A) $ は整数として特徴づけられるか？ そしてこれは作用素代数 $ A $ の構造に何を意味するのか？
• RQ3 $ d(A) $ の有限性は、核型性や適切な一様代数といった古典的性質とどのように関係するか？
• RQ4 ディクスミエが1950年に提起した問題において、類似度は群 $ C^* $-代数のアーベル性を特徴づける基準となるか？
• RQ5 $ \Phi(c) $ の成長は $ c $ のべき関数で抑えられるか？ そしてその鋭い指数は何か？

主な発見

• 類似度 $ d(A) $ は常に整数であり、$ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $ を満たすような最小の $ \alpha $ として定義される。
• 同じ定数 $ K $ を用いて $ \Phi(c) \leq Kc^{d(A)} $ が成り立ち、この $ d(A) $ はこの意味で鋭い。
• 単位的作用素代数 $ A $ が核型であることは、$ d(A) = 0 $ と同値であり、核型 $ C^* $-代数の新しい特徴付けが得られる。
• 単位的作用素代数 $ A $ が適切な一様代数であることは、$ d(A) = 0 $ と同値であり、これにより新しい構造的基準が得られる。
• 離散群の $ C^* $-代数がアーベルであることは、$ d(A) = 0 $ と同値であり、ディクスミエの問題に対する答えが得られる。
• $ \Phi(c) $ の成長は指数 $ d(A) $ の多項式的成長を示し、この指数は整数である。これは代数 $ A $ の重要な構造的不変量である。