[論文レビュー] The simplest mixed finite element method for linear elasticity in the symmetric formulation on $n$-rectangular grids

Jun Hu, Hongying Man+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、任意の次元空間における直方体メッシュ上での線形弾性問題に対して、最小限の多項式空間を用いた、最小で対称的かつ非 conforming な混合有限要素の族を提案する。正規応力 σ_ii に対しては span{1, x_i}、せん断応力 σ_ij に対しては span{1, x_i, x_j}、変位に対しては span{1} を使用する。この手法は最適な収束率を達成し、数値実験において予期しない超収束を示し、自由度を著しく削減したにもかかわらず、先行研究の要素を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

A family of mixed finite elements is proposed for solving the first order system of linear elasticity equations in any space dimension, where the stress field is approximated by symmetric finite element tensors. This family of elements has a perfect matching between the stress components and the displacement. The discrete spaces for the normal stress $σ_{ii}$, the shear stress $σ_{ij}$ and the displacement $u_i$ are $\operatorname{span}\{1,x_i\}$, $\operatorname{span}\{1,x_i,x_j\}$ and $\operatorname{span}\{1\}$, respectively, on rectangular grids. In particular, the definition remains the same for all space dimensions. As a result of these choices, the theoretical analysis is independent of the spatial dimension as well. In 1D, this element is nothing else but the 1D Raviart-Thomas element, which is the only conforming element in this family. In 2D and higher dimensions, they are new elements but of the minimal degrees of freedom. The total degrees of freedom per element is 2 plus 1 in 1D, 7 plus 2 in 2D, and 15 plus 3 in 3D. The previous record of the least degrees of freedom is, 13 plus 4 in 2D, and 54 plus 12 in 3D, on the rectangular grid. These elements are the simplest element for any space dimension. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate of the family of finite elements are proved for both pure displacement and traction problems. Numerical tests in 2D and 3D are presented to show a superiority of the new element over others, as a superconvergence is surprisingly exhibited.

研究の動機と目的

• n次元直方体グリッド上での線形弾性問題に対する、対称応力表現における安定的で適合する混合有限要素法の開発。
• 純変位および荷重境界条件の両方において、最適収束と安定性を保ちながら自由度を最小限に抑えること。
• 高次元問題における非適合性と離散 inf-sup 条件の課題を克服すること。
• 1次元、2次元、3次元で同一の方法が適用可能な、次元に依存しない統一的かつ一貫した定式化を提供すること。
• 数値実験を通じて、優れた性能を示す。特に、理論的予測を超える予期しない超収束を確認する。

提案手法

• 最小限の多項式有限要素空間を用いる：各直方体要素上で、正規応力成分 σ_ii に対しては span{1, x_i}、せん断応力 σ_ij に対しては span{1, x_i, x_j}、変位 u_i に対しては span{1} を使用する。
• 離散空間は、応力成分の方向微分と整合するように構築され、問題の物理的構造と整合性を持つ。
• 適合しない混合有限要素法を採用し、従来の適合法で一般的な頂点自由度や複合要素を回避する。
• 離散的 exact sequence と標準的補間作用素を用いて、離散 inf-sup 条件の検証により安定性を証明する。
• 線形弾性の1階系形式を用い、Hellinger-Reissner 変分原理に基づいて定式化を行う。
• 数値実験では、直方体グリッドの均等なメッシュ細分化とノード補間作用素を用い、誤差と収束率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元空間において、安定的かつ収束性を有する、最小で対称的かつ非適合な混合有限要素法を構築できるか？
• RQ2 最小自由度と非適合性を有するにもかかわらず、この手法が最適収束率を達成するか？
• RQ3 理論的解析では1次収束しか保証しないにもかかわらず、数値実験で超収束を示すことができるか？
• RQ4 自由度を多く有する既存の要素と比較して、この手法は効率性と精度の点で優れているか？
• RQ5 直方体グリッド上において、このような最小限の多項式空間で離散 inf-sup 条件を満たすことができるか？

主な発見

• 理論的解析では1次収束しか保証しないにもかかわらず、変位および応力の L2 範囲で最適な収束率 2 を達成する。
• 2次元および3次元の数値実験では、変位、応力、応力の発散誤差の収束次数が 2.0 に達し、理論的予測を上回る超収束を示す。
• 2次元では1要素あたり自由度が 7+2、3次元では 15+3 であり、以前の記録（2次元で13+4、3次元で54+12）を著しく下回る。
• 単位正方形および単位立方体上での数値結果により、純変位および純荷重問題の両方において安定かつ収束することが確認された。
• 2次元では、Yi の要素 [31] よりも収束速度が高く、自由度も少ないにもかかわらず、1次高い収束を達成する。
• 3次元の実装でも同様に超収束が確認され、すべての誤差ノルムで収束次数が 2.0 に達するが、理論的には1次収束しか保証しない。