[論文レビュー] The Simplification of Spinor Connection and Classical Approximation

Ying-Qiu Gu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2006

Relativity and Gravitational Theory被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、曲がった時空におけるスピン接続を、幾何的効果を担う$\Upsilon_\mu$とスピンとの動的相互作用を支配する$\Omega_\mu$の2つのベクトルに分解することにより単純化する。この分解から得られる古典的近似はニュートン力学に帰着し、$\Omega_\mu$が弱いスピン-重力結合を提供することによりナビゲーションが可能であり、天体の磁場を説明する可能性を示している。

ABSTRACT

The standard spinor connection in curved space-time is represented in a compact form. In this form the calculation is complicated, and its physical effects are concealed. In this paper, we split spinor connection into two vectors $Υ_μ$ and $Ω_μ$, where $Υ_μ$ is only related to geometrical calculations, but $Ω_μ$ leads to dynamical effects, which couples with the spin of a spinor. The representation depends only on metric but is independent of Dirac matrices, so it is valid for both Weyl spinors and Dirac spinor. In the new form, we can clearly define classical concepts for a spinor and then derive its complete classical dynamics. By detailed calculation we find the classical approximation is just Newtonian second law. The dynamical connection $Ω_μ$ couples with the spin of a particle with a tiny energy in weak field, which provides location and navigation functions for a spinor. This term may be also important to form magnetic field of a celestial star. From the results, we find the spinor has marvelous structure and wonderful property, and the interaction between spinor and gravity is subtle. This study may be also helpful to clarify the relations between relativity, quantum mechanics and classical mechanics.

研究の動機と目的

• 曲がった時空における標準的スピン接続の複雑な構造を単純化すること。
• 計量のみに依存する形式を用いて、スピン接続の幾何的および動的寄与を分離すること。
• 等価原理を尊重する、スピン子に対して一貫した古典的近似を導出すること。
• スピン-重力結合の物理的役割と、天体物理学的磁場への影響を明確にすること。
• クリフォード代数に基づく形式を用いて、一般相対性理論、量子力学、および古典力学を統合すること。

提案手法

• tetradおよびパウリ行列を用いて、スピン接続を2つの4ベクトル$\Upsilon_\mu$および$\Omega_\mu$に分解する。
• ディラック行列に依存しない計量のみに依存する形で接続を表現することで、ワイルスピン子およびディラックスピン子の両方に有効であることを保証する。
• スピン子波動関数上の期待値を用いて、位置、速度、運動量といった古典的観測量を定義する。
• スピン子の波動関数が局在化する古典的近似極限を適用し、点粒子の運動に帰着させる。
• 簡略化された接続を用いてディラック方程式を古典的軌道に射影することで、古典的運動方程式を導出する。
• 弱場近似下での$\Omega_\mu$の役割を、スピンへの結合および重力的磁気的力に類似した力の生成に関して分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン接続をどのように単純化することで、その幾何的および動的成分を明らかにできるか？
• RQ2 曲がった時空におけるスピン子の古典的近似の物理的起源は何か？
• RQ3 接続の動的成分$\Omega_\mu$はスピンとどのように結合し、粒子の運動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 スピン-重力相互作用は、中性の天体における磁場の形成を説明できるか？
• RQ5 この形式は一般相対性理論、量子力学、および古典力学をどのように統合するか？

主な発見

• スピン接続は、$\Upsilon_\mu$（幾何的）および$\Omega_\mu$（動的）に成功裏に分解され、両者とも計量のみに依存する。
• スピン子の古典的近似は、弱場近似下でニュートンの第二法則に帰着する。
• $\Omega_\mu$項はスピンに対して弱く結合し、極めて低いエネルギーコストでナビゲーションに類似した機能を果たす。
• 弱い重力場では、スピン-重力結合エネルギーは高次の無限小量ではあるが、中性星では支配的になる可能性がある。
• $\Omega_\mu$項は、運動する粒子に作用する重力的磁気的力に類似した力を引き起こし、星の磁場の起源を説明する可能性を示している。
• 形式はスピンが角運動量とは明確に異なる真の4ベクトルであることを示しており、量子的・相対論的・古典的領域において一貫性を保っている。