[論文レビュー] The simplified SIS model in a low-risk or high-risk domain: Spreading or vanishing of the disease

Jing Ge, Kwang Ik Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、空間的に不均一な環境における感染症の広がりを研究するため、自由境界を伴う簡略化されたSIS反応拡散対流モデルを提案する。時間に依存する基本再生産数 $R_0^F(t)$ を導入し、$R_0^F(t_0) \geq 1$ が成り立つような $t_0 \geq 0$ が存在する場合、感染症は領域全体に広がることを証明している。逆に、初期感染が小さく、拡張速度が低い場合には、根絶が可能であることを示している。

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

研究の動機と目的

• 空間的な不均一性と対流が、空間的に構造化された環境における感染症の持続または根絶に与える影響を理解すること。
• 感染ダイナミクスに従って変化する自由境界を用いて、感染症の広がりの前線をモデル化すること。
• 空間的に不均一で拡散性のあるSIS枠組みにおいて、時間に依存する基本再生産数 $R_0^F(t)$ を定義し、その分析を行うこと。
• 感染症が普遍的に広がるか、または消滅する条件を特定すること、特に初期条件と拡張速度に注目すること。
• 感染症が広がる場合の広がり速度を導出し、対流および拡張速度が感染前線の伝播に与える影響を定量化すること。

提案手法

• 感染症の移動する流行前線を表現するために、自由境界を伴う反応拡散対流SISモデルを構築する。
• 各時刻における感染症の広がりの可能性を捉える時間に依存する基本再生産数 $R_0^F(t)$ を導入する。
• さまざまなパrameterの設定下で、システムの正の解の長期的挙動を分析する。
• 初期感染の大きさと拡張速度に依存して、$R_0^F(0)$、初期感染サイズ、拡張速度に基づく、感染症の根絶または広がりの十分条件を確立する。
• 感染症が広がる場合、自由境界のダイナミクスの漸近的解析を用いて、広がり速度を導出する。
• 対流および拡張速度が広がり前線に与える影響を説明するため、数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に不均一な環境に対流が存在する中で、感染症が領域全体に広がる条件は何か？
• RQ2 時間に依存する基本再生産数 $R_0^F(t)$ は、感染症の長期的運命をどのように決定するか？
• RQ3 初期感染領域の大きさ、拡張速度、拡散速度が、感染症の管理に果たす役割は何か？
• RQ4 対流は、感染前線の伝播速度とパターンにどのように影響するか？
• RQ5 $R_0^F(t)$ が後続の時点で1を超える場合でも、感染症が消滅する可能性はあるか？その条件は何か？

主な発見

• ある $t_0 \geq 0$ に対して $R_0^F(t_0) \geq 1$ が成り立つならば、初期条件にかかわらず、感染症は領域全体に広がる。
• 初期の $R_0^F(0) < 1$ であっても、拡張速度と初期感染人数に応じて、感染症が広がる可能性がある。
• 高速な拡散、小さな拡張速度、小さな初期感染領域は、すべて感染症の根絶を促進する。
• 感染症が広がる場合、広がり速度は明示的に導出され、対流および拡散パrameterに依存する。
• 数値シミュレーションにより、対流および拡張速度が広がり前線の形状と速度に顕著な影響を与えることが確認された。
• モデルは、時間 $t_0$ において拡張領域が高リスク領域となる場合、感染症がその領域に持続することを示している。