[論文レビュー] The singular limit of the Water-Waves equations in the rigid lid regime

Benoît Mésognon-Gireau|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、波幅と水深の比 ε が 0 に近づくときの水波方程式の特異極限を調査し、剛性蓋（rigid lid）状態において解が弱収束してゼロに収束することを示している。弱収束であるが、線形化されたZakharov-Craig-Sulem形式に対しては強収束が確立されており、速度場および圧力場の拡張を用いた自由表面Euler方程式とポテンシャル形式の間の等価性の新たな証明が提示されている。

ABSTRACT

The re-scaled Water-Waves equations depend strongly on the ratio epsilon between the amplitude of the wave and the depth of the water. We investigate in this paper the convergence as epsilon goes to zero of the free surface Euler equations to the so called rigid lid model. We first prove that the only solutions of this model are zero. Due to the conservation of the Hamiltonian, the solutions of the free surface Euler equations converge weakly to zero, but not strongly in the general case, as epsilon goes to zero. We then study this default of convergence. More precisely, we show a strong convergence result of the solutions of the water waves equations in the Zakharov-Craig-Sulem formulation to the solutions of the linear water-waves equations. It is then easy to observe that these latter converge weakly to zero. The simple structure of this system also allows us to explain the mechanisms of the weak convergence to zero. Finally, we show that this convergence to the rigid lid model also holds for the solutions of the Euler equations. To this end we give a new proof of the equivalence of the free surface Euler equations and of the Zakharov-Craig-Sulem equation by building an extension of the velocity and pressure fields.

研究の動機と目的

• 波幅と水深の比 ε → 0 のときの水波方程式の特異極限を分析すること。
• 剛性蓋モデルにのみゼロ解が存在するという事実を踏まえ、その解の収束挙動を理解すること。
• Zakharov-Craig-Sulem形式の解が線形化水波方程式に ε → 0 の極限で強収束することを確立し、ゼロへの弱収束のメカニズムを説明すること。
• 速度場および圧力場の拡張を用いて、自由表面Euler方程式とZakharov-Craig-Sulem形式の間の等価性を再証明すること。

提案手法

• 次元なしパラメータを用いたスケーリングされた自由表面Euler方程式を分析し、ε → 0 の極限に注目する。
• Zakharov-Craig-Sulem形式を用いて、水波問題を表面の高さ ζ と表面ポテンシャル ψ の関数としてハミルトニアン系として表現する。
• ディリクレ＝ノイマン作用素 G を用いて、表面ポテンシャルと流体内の全速度ポテンシャルを関連付ける。
• ε → 0 の極限において、Sobolev空間 H^N および H^{N+1/2} で、解が線形水波方程式に強収束することを確立する。
• 変数変換 Σ_t^ε を導入して流体領域を変形し、ε に依存しない一様なノルムを制御する。
• 速度場および圧力場の拡張を構成することで、自由表面Euler方程式とZakharov-Craig-Sulem形式の間の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波幅と水深の比 ε がゼロに近づくとき、水波方程式の解はどのように振る舞うか？
• RQ2 なぜ剛性蓋モデルはゼロ解しか許さないのか？ これは元の系の収束にどのように影響を与えるか？
• RQ3 線形化水波系において、ε → 0 の極限で強収束を確立できるか？
• RQ4 非線形系において観察されるゼロへの弱収束の背後にあるメカニズムは何か？
• RQ5 場の拡張を用いて、自由表面Euler方程式とZakharov-Craig-Sulem形式の等価性を再証明できるか？

主な発見

• 剛性蓋モデルは自明な解しか持たないため、全水波方程式の解は ε → 0 のとき弱収束してゼロに収束する。
• Zakharov-Craig-Sulem形式の解は、ε → 0 の極限で H^N および H^{N+1/2} 空間において線形水波方程式の解に強収束する。
• 線形水波方程式の解は弱収束してゼロに収束し、本稿ではその物理的および数学的メカニズムを解明している。
• 速度場および圧力場の拡張を構成することで、自由表面Euler方程式とZakharov-Craig-Sulem形式の間の等価性を新たな証明で確立した。
• 変数変換と積の推定を用いて、Sobolev空間におけるノルム推定値を ε に一様に制御し、極限における安定性を保証した。
• 収束結果は固定時間 T₀ まで時間に一様に成り立ち、定数は ε に依存しない。