[論文レビュー] The Singular Structure and Regularity of Stationary and Minimizing Varifolds

Aaron Naber, Daniele Valtorta|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、有界平均曲率をもつ整数値変分法的測度の特異層 $ S^k(I) $ — 特に静止的および最小化変分法的測度においては、$ k $-可縮であり、$ k $-ほとんど everywhere の点において一意な接 $ k $-平面をもつことを確立する。さらに、正則性スケールおよび第二基本形式についての鋭い $ L^7_{\text{weak}} $ 評価を証明し、codimension 1 の最小化超曲面への応用を示す。

ABSTRACT

If one considers an integral varifold $I^m\subseteq M$ with bounded mean curvature, and if $S^k(I)\equiv\{x\in M: ext{ no tangent cone at $x$ is }k+1 ext{-symmetric}\}$ is the standard stratification of the singular set, then it is well known that $\dim S^k\leq k$. In complete generality nothing else is known about the singular sets $S^k(I)$. In this paper we prove for a general integral varifold with bounded mean curvature, in particular a stationary varifold, that every stratum $S^k(I)$ is $k$-rectifiable. In fact, we prove for $k$-a.e. point $x\in S^k$ that there exists a unique $k$-plane $V^k$ such that every tangent cone at $x$ is of the form $V imes C$ for some cone $C$. In the case of minimizing hypersurfaces $I^{n-1}\subseteq M^n$ we can go further. Indeed, we can show that the singular set $S(I)$, which is known to satisfy $\dim S(I)\leq n-8$, is in fact $n-8$ rectifiable with uniformly finite $n-8$ measure. An effective version of this allows us to prove that the second fundamental form $A$ has apriori estimates in $L^7_{weak}$ on $I$, an estimate which is sharp as $|A|$ is not in $L^7$ for the Simons cone. In fact, we prove the much stronger estimate that the regularity scale $r_I$ has $L^7_{weak}$-estimates. The above results are in fact just applications of a new class of estimates we prove on the quantitative stratifications $S^k_{ε,r}$ and $S^k_ε\equiv S^k_{ε,0}$. Roughly, $x\in S^k_ε\subseteq I$ if no ball $B_r(x)$ is $ε$-close to being $k+1$-symmetric. We show that $S^k_ε$ is $k$-rectifiable and satisfies the Minkowski estimate $Vol(B_r\,S_ε^k)\leq C_εr^{n-k}$. The proof requires a new $L^2$-subspace approximation theorem for integral varifolds with bounded mean curvature, and a $W^{1,p}$-Reifenberg type theorem proved by the authors in \cite{NaVa+}.

研究の動機と目的

• 有界平均曲率をもつ整数値変分法的測度における特異集合の幾何的構造という長年の未解決問題を解消すること。
• すべての特異層 $ S^k(I) $ が、完全な対称性や最小性がなくても $ k $-可縮であることの確立。
• 最小化超曲面における正則性スケールおよび第二基本形式についての鋭い $ L^7_{\text{weak}} $ 評価の証明。
• 特異集合のサイズと構造を分析するための新しい定量的ストラティフィケーション枠組み $ S^k_{\epsilon,r} $ の開発。
• 古典的 Reifenberg 定理を $ W^{1,p} $-正則性へ拡張し、変分法的測度における新しい $ L^2 $-部分空間近似定理の証明。

提案手法

• 定量的ストラティフィケーション $ S^k_{\epsilon,r} $ を導入し、$ x \in S^k_{\epsilon,r} $ であるとは、$ B_r(x) $ が $ k+1 $-対称に $ \epsilon $-近いような球が存在しないことである。
• $ S^k_{\epsilon} $ が $ k $-可縮であり、Minkowski 評価 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $ を満たすことを証明する。
• 有界平均曲率をもつ整数値変分法的測度における新しい $ L^2 $-部分空間近似定理を確立する。
• [NVa] からの $ W^{1,p} $-Reifenberg 型定理を応用し、近似部分空間の正則性を制御する。
• 離散的 Reifenberg 型構成を用いた帰納的被覆論法により、体積および測度の上限を証明する。
• $ \epsilon $-正則性定理および単調性を用いて、定量的ストラティフィケーションを古典的特異層 $ S^k(I) $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界平均曲率をもつ整数値変分法的測度の特異層 $ S^k(I) $ は $ k $-可縮か？
• RQ2 $ S^k(I) $ のすべての点 $ x $ について、$ k $-ほとんど everywhere において、すべての接錐が $ V^k \times C $ の形をとる一意な $ k $-平面 $ V^k \subseteq T_xM $ が存在するか？
• RQ3 最小化超曲面において、正則性スケールおよび第二基本形式について鋭い $ L^7_{\text{weak}} $ 評価を確立できるか？
• RQ4 最小化超曲面 $ I^{n-1} \subseteq M^n $ の特異集合 $ S(I) $ は $ n-8 $-可縮であり、一様に有限な $ n-8 $-次元測度を持つか？
• RQ5 定量的ストラティフィケーション $ S^k_{\epsilon,r} $ を用いて、第二基本形式のような幾何的量の有効な $ L^p $-バインドを導出できるか？

主な発見

• 任意の有界平均曲率をもつ整数値変分法的測度について、特異層 $ S^k(I) $ はすべての $ k $ に対して $ k $-可縮である。
• $ k $-ほとんど everywhere な $ x \in S^k(I) $ に対して、すべての接錐が $ V^k \times C $ の形（ある錐 $ C $ を持つ）をとる一意な $ k $-平面 $ V^k \subseteq T_xM $ が存在する。
• 最小化超曲面 $ I^{n-1} \subseteq M^n $ に対して、特異集合 $ S(I) $ は一様に有限な $ n-8 $-次元測度を持つ $ n-8 $-可縮である。
• 正則性スケール $ r_I $ は $ \|r_I^{-1}\|_{L^7_{\text{weak}}} \leq C $ を満たし、これは鋭い評価であり、Simons の錐によって $ |A| \notin L^7 $ であることが示される。
• 定量的ストラティフィケーション $ S^k_\epsilon $ は Minkowski 評価 $ \text{Vol}(B_r S^k_\epsilon) \leq C_\epsilon r^{n-k} $ を満たし、可縮性を示唆する。
• 第二基本形式 $ A $ は $ \|A\|_{L^7_{\text{weak}}(I)} \leq C $ を満たし、これは Simons の錐反例によって最適であることが示される。