[論文レビュー] The Singular Theta Correspondence, Lorentzian Lattices and Borcherds-Kac-Moody Algebras

Alex V. Barnard|ArXiv.org|Jul 8, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、特異theta対応とローレンツ型格子の間の関係を確立し、Weylベクトルを有するローレンツ型反射群が、未解決の予想のもとでベクトル値モジュラー形式に対応することを証明する。26次元がこのような群の最大次元であるという広く知られた予想を裏付けるとともに、ボルチャーズ–カク–ムーディ代数とオルビフォールド頂点代数、およびモンスターグループを結びつける。これは特異重みを持つ自動形式による分類の可能性を示唆する。

ABSTRACT

This dissertation answers some of the questions raised in Borcherds' papers on Moonshine and Lorentzian reflection groups. We prove (assuming an open conjecture of Burger, Li and Sarnak) that a Lorentzian reflection group with Weyl vector is associated to a vector-valued modular form. This result allows us to establish a folklore conjecture that the maximal dimension of a Lorentzian reflection group with Weyl vector is 26. In the case of elementary lattices, we show that these vector-valued forms can be obtained by inducing scalar-valued forms. This allows us to explain the critical signatures which occur in Borcherds' work. Many of the structures which occur at these critical signatures are especially beautiful and have appeared independently throughout the literature. We investigate Borcherds-Kac-Moody (BKM) algebras with denominator formulas that are singular weight automorphic forms. The results of these investigations suggest that all such BKM algebras are related to orbifold constructions of vertex algebras and elements of the Monster sporadic group. Finally, we show how work in this dissertation combined with results of Bruinier gives a new insight into the arithmetic mirror symmetry conjecture of Gritsenko and Nikulin.

研究の動機と目的

• ボルチャーズのムーンシャインおよびローレンツ型反射群に関する未解決問題を解消すること。
• 擬尖点形式と特異theta対応との間の関係を確立すること。
• Weylベクトルを有するローレンツ型反射群が、未解決の予想のもとでベクトル値モジュラー形式に対応することを証明すること。
• スカラー値形式からの誘導によってボルチャーズの研究における臨界符号数を説明すること。
• 分母公式が特異重みを持つ自動形式であるBKM代数を調査し、オルビフォールド頂点代数およびモンスターグループによる分類を提案すること。

提案手法

• 特異theta対応を用いて、モジュラー形式から擬尖点形式を構成する。
• ベクトル値モジュラー形式の理論を応用し、Weylベクトルを有するローレンツ型格子と関連付ける。
• バーガー、リー、サルナックによる正交群の自動形式スペクトルに関する未解決予想を基礎的仮定として採用する。
• 素性格子の場合、スカラー値形式からの誘導によってベクトル値形式を構成する。
• 分母公式が特異重みを持つ自動形式であるBKM代数を分析し、それらをオルビフォールドによる頂点代数の構成と結びつける。
• ブルインイェルの結果と組み合わせることで、グリツェンコ–ニクリンの算術的ミラー対称性予想に対する新たな知見を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想に基づく擬尖点形式は、特異theta対応によって構成可能か？
• RQ2 Weylベクトルを有するローレンツ型反射群が、どのような条件下でベクトル値モジュラー形式に対応するか？
• RQ3 ボルチャーズの構成においてなぜ臨界符号数が現れるのか、その対称性はどのように説明されるか？
• RQ4 分母公式が特異重みを持つ自動形式であるすべてのBKM代数が、オルビフォールド頂点代数およびモンスターグループに関連しているか？
• RQ5 特異theta対応は、グリツェンコとニクリンの算術的ミラー対称性予想にどのように寄与するか？

主な発見

• Weylベクトルを有するローレンツ型反射群の最大次元が26であることが確認され、古くから広く信じられていた予想を支持する。
• ヘイハルが研究した擬尖点形式は、特異theta対応を用いて構成可能である。
• 素性格子の場合、スカラー値形式からの誘導によってベクトル値モジュラー形式が得られ、臨界符号数の出現が説明される。
• 臨界符号数における構造は、特異的な対称性を示し、複数の数学的文脈で独立に出現する。
• 分母公式が特異重みを持つ自動形式であるBKM代数は、オルビフォールド頂点代数およびモンスターグループと関連すると予想され、分類の可能性を示唆する。
• 本研究とブルインイェルの結果の組み合わせにより、グリツェンコ–ニクリンの算術的ミラー対称性予想に対する新たな知見が得られる。