[論文レビュー] The singularities of Yang-Mills connections for bundles on a surface. II. The stratification

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Nov 22, 1994

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、閉じた曲面上の主 bundle 上の中心Yang-Mills接続のモジュライ空間が、ゲージ群作用の軌道型による強い（ホイットニー）層化構造を持つことを確立する。各層化は、有限体積を持つ滑らかなシンプレクティック多様体であり、Yang-Mills汎関数の臨界集合を精緻化し、Atiyah-Bottの結果を拡張して、モジュライ空間内の特異点のより細かい分解を提供する。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a closed surface, $G$ a compact Lie group, not necessarily connected, with Lie algebra $g$, endowed with an adjoint action invariant scalar product, let $ξ\colon P o Σ$ be a principal $G$-bundle, and pick a Riemannian metric and orientation on $Σ$ so that the corresponding Yang-Mills equations are defined. In an earlier paper we determined the local structure of the moduli space $N(ξ)$ of central Yang-Mills connections on $ξ$ near an arbitrary point. Here we show that the decomposition of $N(ξ)$ into connected components of orbit types of central Yang-Mills connections is a stratification in the strong (i.~e. Whitney) sense; furthermore each stratum, being a smooth manifold, inherits a finite volume symplectic structure from the given data. This complements, in a way, results of {\smc Atiyah-Bott} in that it will in general decompose further the critical sets of the corresponding Yang-Mills functional into smooth pieces.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面上の主 bundle 上の中心Yang-Mills接続のモジュライ空間のグローバル構造を分析すること。
• このモジュライ空間のゲージ群作用による軌道型への分解が強い層化をなすことの証明。
• この分解における各層化が、下位の幾何的データから有限体積シンプレクティック構造を誘導することの証明。
• Yang-Mills汎関数の臨界集合を、滑らかでシンプレクティックな多様体へのより細かい分解によって精緻化すること。
• Atiyah-Bottの枠組みを拡張し、モジュライ空間内の特異点のより細かい、層化された記述を提供すること。

提案手法

• 分析は、ゲージ群が接続に作用する際の軌道型分解に基づく。
• 著者が以前に確立した、中心Yang-Mills接続の近傍におけるモジュライ空間の局所モデルを用いる。
• 微分幾何的技法を用いて、軌道型層化がホイットニー条件(a)および(b)を満たすことを確認し、強い層化が成立することを検証する。
• 各層化上のシンプレクティック構造は、ゲージ群作用による商空間として、接続空間上の自然なシンプレクティック形式から誘導される。
• 各層化の有限体積は、曲面のコンパクト性と、群作用による計量の不変性から導かれる。
• Lie理論、曲面上のリーマン幾何、および等長的微分トポロジーを組み合わせて、層化の滑らかさとシンプレクティック構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心Yang-Mills接続のモジュライ空間の軌道型への分解がホイットニー層化をなすか。
• RQ2 モジュライ空間内の各軌道型層化が有限体積シンプレクティック構造を備えられるか。
• RQ3 この層化は、Atiyah-Bottの枠組みと比較して、Yang-Mills汎関数の臨界集合をどのように精緻化するか。
• RQ4 曲面上のYang-Mills接続のモジュライ空間内の特異点の幾何的・位相的性質は何か。
• RQ5 ゲージ群作用が、モジュライ空間を滑らかでシンプレクティックな部分にどの程度細かく分解できるか。

主な発見

• 閉じた曲面上の主 bundle 上の中心Yang-Mills接続のモジュライ空間は、ゲージ群作用の軌道型による強い層化を備える。
• この層化における各層化は滑らかな多様体であり、ホイットニー条件(a)および(b)を満たす。
• 各層化は、周囲の接続空間からの自然なシンプレクティック形式を介して誘導されるシンプレクティック構造を備え、有限体積を持つシンプレクティック多様体である。
• この層化は、従来の知られていたものよりも、Yang-Mills汎関数の臨界集合のより細かい分解を提供する。特に、Atiyah-Bottの解析を超えて、特異点の構造を精緻化する。
• 結果は、コンパクトなリー群（連結でない場合を含む）に、そのリー代数にAd不変内積が存在する場合に成立する。
• 構成は、基底のリーマン計量と向きにのみ依存し、表面およびバンドルの幾何に内在的である。