[論文レビュー] The size of spanning disks for polygonal knots

Joel Hass, Jack Snoeyink+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、R³における結び目のない多角形曲線の族を構成し、その曲線は高々11n本の辺で構成され、任意の折れ線的三角形分割ディスクが曲線を張るには少なくとも2^(n−1)個の三角形を必要とする。この結果は、特定の多角形のねじれのない曲線に対して、張るディスクの複雑さに指数的下界が存在することを示し、折れ線的埋め込みにおける幾何的複雑さと位相的自明性の間の顕著な隔たりを強調している。

ABSTRACT

For each integer n ≥ 1 we construct a closed unknotted Piecewise Linear curve Kn in R 3 having less than 11n edges with the property that any Piecewise Linear triangluated disk spanning the curve contains at least 2 n−1 triangles. 1 Introduction. We show the existence of a sequence of unknotted simple closed curves Kn in R 3 having the following properties: • The curve Kn is a polygon with at most 11n edges. • Any Piecewise Linear (PL) embedding of a triangulated disk into R 3 with

研究の動機と目的

• R³における結び目がなく、多角形的曲線を張る最小の複雑さの折れ線的（PL）三角形分割ディスクを調査すること。
• 辺の数が少ないにもかかわらず、任意のPL張るディスクにおいて指数的に多くの三角形を必要とする特定の結び目がなく、多角形的曲線の存在を示すこと。
• 「結び目がなく」いるという位相的単純さと、張る曲面の幾何的複雑さとの間の定量的分離を確立すること。

提案手法

• 折れ線的位相幾何学を用いて、R³における結び目がなく、高々11n本の辺を持つ多角形曲線Knの列を構成すること。
• トポロジー的および組合せ論的議論を通じて、Knを張る任意のPL三角形分割ディスクが少なくとも2^(n−1)個の三角形を含むことを証明すること。
• 帰納法と再帰的曲線設計を用いて、最小の張るディスクの複雑さがnに指数的に増加することを保証すること。
• PL埋め込み理論を適用し、位相的障害を引き起こさずに曲線を囲むより単純な三角形分割が存在しないことを示すこと。
• PL設定における離散的曲率とリンク数の議論を通じて、三角形分割の複雑さを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた結び目がなく、R³における多角形的曲線を張るPL三角形分割ディスクに必要な最小の三角形数は何か？
• RQ2 辺数が線形に制限される結び目がなく、多角形的曲線に対しても、張るディスクの複雑さが指数的に増加しうるか？
• RQ3 PLカテゴリーにおいて、特定の結び目がなく、多角形的曲線に対して高次の三角形分割の複雑さを強いる位相的障害は存在するか？
• RQ4 多角形的ねじれのない曲線の辺数と、張るディスクに必要な最小の三角形数との関係は何か？

主な発見

• 任意の整数n ≥ 1に対して、R³に高々11n本の辺を持つ結び目がなく、多角形的曲線Knが存在する。
• Knを張る任意のPL三角形分割ディスクには、少なくとも2^(n−1)個の三角形が含まれる。
• 曲線が結び目がなく、辺数が線形に制限されているにもかかわらず、張るディスクの複雑さに指数的下限が達成されている。
• 構成により、位相的自明性（結び目がないこと）が、PL設定における幾何的単純さを意味するとは限らないことが示された。
• 結果として、折れ線的位相幾何学において、辺数と最小の張るディスクの複雑さとの間に、超多項式的なギャップが確立された。