[論文レビュー] The SL(2,C) character variety of the one-holed torus

Ser Peow Tan, Yan Loi Wong+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、1つの穴あきトーラスのSL(2,C)表現の文字列多様体における、マッピングクラス群が properly discontinuously に作用する最大の開部分集合を、2つの単純なBowditch Q-条件を用いて特徴づける。この部分集合におけるすべての文字列に対して有効な一般化されたMcShane級数恒等式を確立し、SL(2,C)文字列の端の不変量を定義し、実数、虚数、離散的ケースにおける動的性質と構造の部分的分類を提供する。

ABSTRACT

In this note we announce several results concerning the SL(2,C) character variety ${\mathcal X}$ of the one-holed torus. We give a description of the largest open subset ${\mathcal X}_{BQ}$ of ${\mathcal X}$ on which the mapping class group $Γ$ acts properly discontinuously, in terms of two very simple conditions, and show that a series identity generalizing McShane's identity for the punctured torus holds for all characters in this subset. We also give variations of the McShane-Bowditch identities to characters fixed by an Anosov element of $Γ$ with applications to closed hyperbolic three manifolds. Finally we give a definition of end invariants for SL(2,C) characters and give a partial classification of the set of end invariants of a character in ${\mathcal X}$.

研究の動機と目的

• 1つの穴あきトーラスのSL(2,C)文字列多様体において、マッピングクラス群が properly discontinuously に作用する最大の開部分集合を特定・特徴づけること。
• Bowditch Q-条件を満たすすべての文字列に対して有効な一般化されたMcShane級数恒等式を一般化すること。
• マッピングクラス群のAnosov要素によって固定される文字列に対してMcShane-Bowditch恒等式を拡張し、閉じた双曲的3次元多様体への応用を示すこと。
• SL(2,C)文字列の端の不変量を定義し、特に実数、虚数、離散的文字列に対して分類すること。
• マッピングクラス群の作用の動的性質を理解するための枠組みを提供し、穴あきトーラスからより広い曲面群への結果の一般化を図ること。

提案手法

• 1つの穴あきトーラスの基本群の表現の集合を共役による同値関係で割った商としてSL(2,C)文字列多様体Xを定義し、生成子X, Y, XYのトレースを用いてC^3に同相化する。
• マッピングクラス群が properly discontinuously に作用する部分集合X_BQを特徴づける2つの単純な代数的不等式（Bowditch Q-条件）を導入する。
• X_BQに属するすべての文字列に対して有効な一般化されたMcShane級数恒等式を確立し、特定のパrameter値で元のMcShane恒等式に還元されることを示す。
• Bowditch Q-条件を相対的形で用いて、Anosovマッピングクラスによって固定される文字列に対するMcShane-Bowditch恒等式の変種を導出する。
• マッピングクラス群の作用下での特定の単純閉曲線の列の極限集合として端の不変量E(ρ)を定義し、交換子のトレースκに基づいて分類する。
• κ = -2の場合のBowditchの研究にインspiredされた手法を用い、一般のκ ∈ Cに対して結果を拡張する。トレース恒等式と文字列多様体上での作用の動的性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの穴あきトーラスのSL(2,C)文字列多様体において、マッピングクラス群が properly discontinuously に作用する最大の開部分集合は何か？
• RQ2 2生成子部分群のSL(2,C)に対して、一般化されたMcShane級数恒等式が成立する条件は何か？
• RQ3 マッピングクラス群のAnosov要素によって固定される文字列に対して、McShane-Bowditch恒等式をどのように拡張できるか？
• RQ4 SL(2,C)文字列の端の不変量集合E(ρ)の構造は何か？交換子のトレースに応じてどのように変化するか？
• RQ5 実数、虚数、離散的文字列に対して、端の不変量の分類を達成できるか？

主な発見

• マッピングクラス群が properly discontinuously に作用するSL(2,C)文字列多様体の最大の開部分集合X_BQは、トレース座標における2つの単純な代数的条件（Bowditch Q-条件）によって特徴づけられる。
• X_BQに属するすべての文字列に対して一般化されたMcShane級数恒等式が成り立ち、特定のパrameter値で元のMcShane恒等式に還元される。
• 一般化されたMcShane恒等式が成り立つための必要十分条件が与えられ、SL(2,C)の2生成子部分群に対して完全な特徴づけが得られる。
• Anosov要素によって固定される文字列に対してMcShane-Bowditch恒等式の変種が確立され、閉じた双曲的3次元多様体への応用が示される。
• 実数文字列の場合、端の不変量集合E(ρ)は空集合、1点、またはカントール集合のいずれかである。虚数文字列では空集合または1点である。離散的文字列ではE(ρ)はカントール集合またはPL全体である。
• E(ρ)が2つより多くの要素を持つ場合、それはPLのカントール部分集合またはPL全体であると予想される。これはκ = -2の場合のBowditchの予想を一般化するものである。