[論文レビュー] The slow regime of randomly biased walks on trees

Yueyun Hu, Zhan Shi|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、上位のガルトン＝ウォーソン木上の確率的バイアス付きランダムウォークの遅い状態を研究しており、この状態ではウォークは零再帰的であり、最大移動距離が $(\log n)^3$ のオーダーに達する。本稿では、ウォークの位置 $X_n$ のクエンチド分布が時間依存の不変測度に収束することを確立し、$|X_n| / (\log n)^2$ が非退化な極限分布に分布収束することを証明している。その極限分布の法則は明示的に計算可能である。

ABSTRACT

We are interested in the randomly biased random walk on the supercritical Galton--Watson tree. Our attention is focused on a slow regime when the biased random walk $(X_n)$ is null recurrent, making a maximal displacement of order of magnitude $(\log n)^3$ in the first $n$ steps. We study the localization problem of $X_n$ and prove that the quenched law of $X_n$ can be approximated by a certain invariant probability depending on $n$ and the random environment. As a consequence, we establish that upon the survival of the system, $\frac{|X_n|}{(\log n)^2}$ converges in law to some non-degenerate limit on $(0, \infty)$ whose law is explicitly computed.

研究の動機と目的

• 超臨界ガルトン＝ウォーソン木上の確率的バイアス付きランダムウォークの局在化およびスケーリング挙動を、零再帰的（遅い）状態で分析すること。
• 特に零再帰の条件下で、ウォークの位置 $X_n$ のクエンチド分布の長時間極限における性質を理解すること。
• スケーリングされた移動距離 $|X_n| / (\log n)^2$ の分布収束が非退化な極限分布に収束することを確立すること。
• 環境の確率的構造と加法的マルティンゲールを用いて、極限分布を明示的に特徴付けること。
• 決定的バイアスからの結果を、$\mathbf{E}[\sum A_i] = 1$ および $\mathbf{E}[\sum A_i \log A_i] = 0$ を満たす i.i.d. な遷移バイアスを持つ確率的環境へと拡張すること。

提案手法

• 各頂点で i.i.d. なバイアスベクトル $A(x)$ を持つガルトン＝ウォーソン木上の確率的環境におけるランダムウォークの枠組みを用いる。
• ポテンシャル測度と局所時間構造を解析するため、加法的マルティンゲール $W_k = \sum_{|x|=k} e^{-V(x)}$ を適用する。
• 境界 $\mathscr{L}_n$ における局所時間とポテンシャル $V(x)$ から構成される、時間依存の不変測度 $\pi_n$ を導入し、$X_n$ の分布の近似を実現する。
• カップリング論法と全 Variation 距離の制御を用いて、$P_\omega(X_n \in A)$ が $\pi_n(A)$ により良く近似されることを示し、誤差が $\mathbf{P}^*$-確率において消えることを示す。
• 離散的性質を扱うために $\pi_n$ と $\pi_{n-1}$ を用いた時間平均化技術を適用し、分布収束を導出する。
• $Y_n / \log n \to 2D_\infty / \sigma^2$ が $\mathbf{P}^*$-確率で成り立ち、$W_k^{(\lambda)}$ の漸近的挙動を用いて極限分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガルトン＝ウォーソン木上のバイアス付きランダムウォークの零再帰的状態において、位置 $X_n$ のクエンチド分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 この状態における最大移動距離 $\max_{i \leq n} |X_i|$ のスケーリング挙動は何か？
• RQ3 $|X_n| / (\log n)^2$ は非退化な極限分布に分布収束するか？ もしそうならば、その法則は何か？
• RQ4 環境から導かれる時間依存の不変測度によって、$X_n$ のクエンチド分布は近似可能か？
• RQ5 加法的マルティンゲール $W_k$ とポテンシャル $V(x)$ は、局在化および収束結果にどのように寄与するか？

主な発見

• バイアス付きウォークの最大移動距離は、生存の下で almost surely に $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\log n)^3} \max_{0 \leq i \leq n} |X_i| = \frac{8}{3\pi^2 \sigma^2}$ を満たす。
• $X_n$ のクエンチド分布は、時間依存の不変測度 $\pi_n$ により漸近的に近似可能であり、$\mathrm{d_{tv}}(P_\omega(X_n \in \cdot), \pi_n(\cdot)) \to 0$ が $\mathbf{P}^*$-確率で成り立つ。
• $|X_n| / (\log n)^2$ は $(0, \infty)$ 上で非退化な極限分布に分布収束する。その法則は明示的に計算され、$\mathbb{E}[(B^{1/2} \wedge \frac{1}{\sigma \eta}) - b^{1/2}] \mathbf{1}_{\{\eta \leq \frac{1}{\sigma b^{1/2}}\}}$ として与えられる。
• 極限分布は、正規化された加法的マルティンゲール $D_\infty$ から生じる確率変数 $\eta$ に依存しており、環境の法則によって特徴付けられる。
• 収束は積分可能性条件 (1.3) と境界状態条件 (1.2) の下で成り立ち、零再帰性と極限の存在を保証する。
• 証明は、$\sum_{|x|=k} \mathbf{1}_{\{x < \mathscr{L}_n\}} e^{-V(x)}$ の和が $W_k^{(\log n)}$ と漸近的に同値であり、スケーリング極限で安定分布に収束することに依拠している。