[論文レビュー] The small Deborah number limit of the Doi-Onsager equation to the Ericksen-Leslie equation

Wei Wang, Pingwen Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト展開を用いて、小スカラーデューラー数極限におけるドイ・オンサークレ方程式からエリクセン＝レジー方程式を厳密に導出する。線形化ドイ・オンサークレ作用素のスペクトル安定性を確立し、新規の座標変換とマイヤー＝ザウペ空間を導入することで、剰余項に対する一様なバインディングを示し、エネルギー散逸を証明する。これにより、複雑な分子的相互作用を有するネマチック液体結晶の流体力学的極限が正当化される。

ABSTRACT

We present a rigorous derivation of the Ericksen-Leslie equation starting from the Doi-Onsager equation. As in the fluid dynamic limit of the Boltzmann equation, we first make the Hilbert expansion for the solution of the Doi-Onsager equation. The existence of the Hilbert expansion is connected to an open question whether the energy of the Ericksen-Leslie equation is dissipated. We show that the energy is dissipated for the Ericksen-Leslie equation derived from the Doi-Onsager equation. The most difficult step is to prove a uniform bound for the remainder in the Hilbert expansion. This question is connected to the spectral stability of the linearized Doi-Onsager operator around a critical point. By introducing two important auxiliary operators, the detailed spectral information is obtained for the linearized operator around all critical points. However, these are not enough to justify the small Deborah number limit for the inhomogeneous Doi-Onsager equation, since the elastic stress in the velocity equation is also strongly singular. For this, we need to establish a precise lower bound for a bilinear form associated with the linearized operator. In the bilinear form, the interactions between the part inside the kernel and the part outside the kernel of the linearized operator are very complicated. We find a coordinate transform and introduce a five dimensional space called the Maier-Saupe space such that the interactions between two parts can been seen explicitly by a delicate argument of completing the square. However, the lower bound is very weak for the part inside the Maier-Saupe space. In order to apply them to the error estimates, we have to analyze the structure of the singular terms and introduce a suitable energy functional.

研究の動機と目的

• ドイ・オンサークレ方程式の小スカラーデューラー数領域における流体力学的極限が、エリクセン＝レジー方程式に厳密に正当化されることを示すこと。
• ドイ・オンサークレモデルに由来する解に対して、導出されたエリクセン＝レジー方程式におけるエネルギー散逸が成立することを証明することで、未解決のエネルギー散逸問題を解決すること。
• ヒルベルト展開における剰余項に対する一様バインディングを確立すること。これは、線形化ドイ・オンサークレ作用素の詳細なスペクトル解析を要する。
• 速度方程式における弾性応力項の強い特異性に対処するため、二重形式に対する精密な下界を構築すること。
• 線形化作用素の核部と非核部の間の複雑な相互作用を扱うために、新規のエネルギー関数および座標変換を開発すること。

提案手法

• ドイ・オンサークレ方程式の解に対してスカラーデューラー数のべき級数展開（ヒルベルト展開）を実行する。
• 線形化ドイ・オンサークレ作用素の臨界点まわりのスペクトル特性を解析するための2つの補助作用素を導入する。
• 線形化作用素の核部と非核部の間の相互作用を明示的に分解するため、5次元のマイヤー＝ザウペ空間を定義する。
• 線形化作用素に関連する二重形式を解析するため、座標変換と「平方完成」の技法を用いる。
• 特徴的な特異項を制御し、ヒルベルト展開における剰余項の推定を行うために、適合したエネルギー関数を構築する。
• スペクトル分解から得られる係数の正定性を活用することで、二重形式に対する一様な下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小スカラーデューラー数極限において、ドイ・オンサークレ方程式からエリクセン＝レジー方程式を厳密に導出可能か？
• RQ2 導出されたエリクセン＝レジー方程式におけるエネルギー散逸は、物理的整合性のために必要とされるように成立するか？
• RQ3 弾性応力に起因する強い特異性が存在するにもかかわらず、ヒルベルト展開における剰余項に対する一様バインディングを確立できるか？
• RQ4 線形化ドイ・オンサークレ作用素の核部と非核部の間の相互作用を明示的に制御する方法は何か？
• RQ5 線形化作用素のどのスペクトル構造が、二重形式に対する下界の構築を可能にするか？

主な発見

• ドイ・オンサークレ方程式から導出されたエリクセン＝レジー方程式のエネルギーは散逸する。これは、極限の物理的整合性を確認するものである。
• ヒルベルト展開における剰余項に対する一様バインディングが確立された。これは、流体力学的極限の有効性に不可欠である。
• 線形化ドイ・オンサークレ作用素のスペクトル解析により、すべての臨界点まわりの詳細な情報を得ることができ、必要なエネルギー推定の構築が可能になった。
• 線形化作用素に関連する二重形式は、座標変換とマイヤー＝ザウペ空間における分解を用いて、精密な下界を有する。
• エネルギー推定に用いられる係数が正であることが証明された。これにより、二次形式の正定性が保証され、展開の安定性が得られた。
• 導出されたエリクセン＝レジー方程式は、ドイ・オンサークレモデルが有する散逸構造を引き継ぎ、ネマチック液体結晶の流れの巨視的記述としての有効性が検証された。