[論文レビュー] The smallest Dirac eigenvalue in a spin-conformal class and cmc-immersions

Bernd Ammann|ArXiv.org|Sep 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、特定の特異計量を含む拡大された共形類において、体積の $1/n$ 乗に比例する最小正のディラック固有値の存在を確立する。非線形ディラック方程式を臨界ソボレフ指数で解くことにより、下界が球面のそれよりも厳密に小さい場合、最小値は $C^2$ スピン場によって達成され、制御された退化集合を持つ一般化計量をもたらす。

ABSTRACT

Let us fix a conformal class $[g_0]$ and a spin structure $σ$ on a compact manifold $M$. For any $g\in [g_0]$, let $λ^+_1(g)$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator $D$ on $(M,g,σ)$. In a previous paper we have shown that $$λ_{min}(M,g_0,σ):=\inf_{g\in [g_0]} λ_1^+(g)\vol(M,g)^{1/n}>0.$$ In the present article, we enlarge the conformal class by certain singular metrics. We will show that if $λ_{min}(M,g_0,σ)

研究の動機と目的

• 共形類における体積に比例する最小正のディラック固有値の下界が達成されるかどうかを特定すること。
• 共形類を $L^\infty$-有界な共形因子を含むように拡張し、特異計量を許容すること。
• 下界が球面のそれよりも厳密に小さいという条件下での最小化子の存在を分析すること。
• 臨界非線形ディラック方程式の解と次元 2 の一定平均曲率曲面との間の関係を確立すること。
• 滑らかでない計量へとディラック作用素の共形不変性およびスペクトル境界に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 共形類 $[g_0]$ をその $L^\infty$-完備化 $\overline{[g_0]}$ に拡張し、$f \in L^\infty$ である $g = f^2 g_0$ の形の計量を許容する。
• 関数 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) = \inf_{g \in [g_0]} \lambda_1^+(g) \cdot {\rm vol}(M,g)^{1/n}$ を定義し、その達成性を検討する。
• 臨界指数 $2/(n-1)$ を持つ非線形ディラック方程式 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ を解き、ヤマベ問題に類似するものとする。
• スピン性のワイエルシュトラス表現を用いて、次元 2 における解を周期的一定平均曲率曲面に関連付ける。
• 楕円型正則性理論およびソボレフ埋め込み定理を用いて、解の $C^2$ 正則性と Hölder 空間におけるコンパクト性を確立する。
• Rellich-Kondrakov および Arzelà-Ascoli 型定理を用いて、拡張された共形類における最小化列の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積に比例する最小正のディラック固有値の下界が共形類内で達成される条件は何か？
• RQ2 共形類を特異計量（例えば $L^\infty$-有界な共形因子を伴うもの）を含むように拡張することは可能か？ その場合、最小化問題は適切に定義され、解けるか？
• RQ3 ディラック方程式 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ における臨界非線形項 $|\varphi|^{2/(n-1)}$ の役割は何か？
• RQ4 この非線形ディラック方程式の解は、次元 2 の一定平均曲率曲面の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 下界が球面 $S^n$ のそれよりも厳密に小さいことは、拡張された共形類における最小化子の存在に十分か？

主な発見

• 任意のコンパクトなスピン多様体において、固定された共形類とスピン構造のもとで、下界 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma)$ は正である。
• もし $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) < \lambda_{\rm min}^+(S^n) = \frac{n}{2} \omega_n^{1/n}$ ならば、下界は一般化計量 $g = |\varphi|^{4/(n-1)} g_0$ によって達成され、$\varphi \in C^2$ である。
• 最小化子は非線形ディラック方程式 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ の解 $\varphi$ に対応し、$\lambda = \lambda_{\rm min}^+$ である。
• 次元 2 において、非線形ディラック方程式の解はスピン性のワイエルシュトラス表現を介して周期的一定平均曲率曲面を生成する。
• ノード集合 $\varphi^{-1}(0)$、つまり計量が退化する点の集合は、$M$ の測度ゼロの閉部分集合であり、一般化計量の特異点の集合である。
• 証明は、$C^\infty$-収束する計量列における定数の一様有界性を伴う Hölder 空間およびソボレフ空間におけるコンパクト性に依拠している。