[論文レビュー] The solvability of Brezis-Nirenberg type problems of singular quasilinear elliptic equation

Benjin Xuan|ArXiv.org|Mar 31, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界的成長と特異的重みを有する特異な擬線形楕円型方程式に対する解の存在および非存在に関する結果を確立し、Brezis-Nirenberg枠組みをp-Laplacian設定およびハーディー型ポテンシャルへと拡張する。新たなコンパクト埋込み定理を証明し、一般化された集中・compact性原理を用いることで、特定のパrameter制約下でエネルギー汎関数が(PS)₇条件を満たすことを示し、パrameter λ が最初の固有値未満である場合に非自明な弱解の存在を導く。

ABSTRACT

In this paper, we consider the existence and non-existence of non-trivial solution to a Brezis-Nirenberg type problem with singular weights. First, we obtain a compact imbedding theorem which is an extension of the classical Rellich-Kondrachov compact imbedding theorem, and consider the corresponding eigenvalue problem. Secondly, we deduce a Pohozaev type identity and obtained a non-existence result. Thirdly, based on a generalized concentration compactness principle, we will give some abstract conditions when the functional satisfies the (PS)$_c$ condition. Finally, based on the explicit form of the extremal function, we will obtain some existence results to the problem.

研究の動機と目的

• 臨界的成長および特異的重みを有する特異的擬線形楕円型問題に対する非自明解の存在および非存在を確立すること。
• 古典的なBrezis-Nirenbergアプローチを、p-Laplacianおよび重み付きソボレフ空間を含む擬線形で特異的な設定へ一般化すること。
• 重み付きソボレフ空間における特異的重みの下で、Rellich-Kondrachov結果を拡張する新しいコンパクト埋込み定理を証明すること。
• 特定のパrameter範囲において非存在性を示すために、Pohozaev型の恒等式を導出すること。
• 一般化された集中・compact性原理を用いてエネルギー汎関数の(PS)₇条件を検証し、これによりエネルギー汎関数の臨界点の存在を証明すること。

提案手法

• 古典的なRellich-Kondrachov定理を拡張し、空間 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ から重み付き $L^r$ 空間への新たなコンパクト埋込み結果を導出する。
• Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式を用いて、$\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 上でエネルギー汎関数 $E_\lambda(u)$ を定義し、その定義の妥当性および $C^1$-正則性を保証する。
• パrameterが特定の範囲にある場合の解の非存在性を示すために、Pohozaev型の恒等式を確立する。
• 特定のパrameter制約下でエネルギー汎関数の(PS)₇条件を検証するために、一般化された集中・compact性原理を適用する。
• 重み付きソボレフ不等式の極値関数に基づく切り上げ関数 $v_\varepsilon$ の族を構成し、マウンテンパスレベルの推定に用いる。
• 極値関数 $U_{a,b}(r)$ の明示的形を用いてエネルギー汎関数を推定し、マウンテンパスレベルが臨界閾値 $\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$ よりも厳密に小さいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $a$, $b$, $c$, $p$ が特定の範囲にあるとき、重み付き特異的問題に対するBrezis-Nirenberg型の非自明な弱解は、空間 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 内に存在するか？
• RQ2 エネルギー汎関数が(PS)₇条件を満たすのはどのような条件下か？ これにより変分法の適用が可能になる。
• RQ3 パラメータ $a$, $b$, $c$, $p$ が解の存在または非存在に与える役割は何か？
• RQ4 極値関数の対称性が、特に $a < 0$ の場合に(PS)₇条件の有効性に与える影響は何か？
• RQ5 マウンテンパスレベルが臨界閾値 $\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$ よりも厳密に下限されると、非自明な臨界点の存在を保証できるか？

主な発見

• $1 < p < n$, $0 \leq a < \frac{n-p}{p}$, $a \leq b \leq a+1$, $q = p^*(a,b) = \frac{np}{n-dp}$ で $d = 1+a-b \in (0,1]$ かつ $c \leq \frac{n-p-ap}{p-1}$ のとき、$0 < \lambda < \lambda_1$ ならば $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 内に非自明な解が存在する。
• マウンテンパスレベル $\max_{t \geq 0} E_\lambda(t v_\varepsilon)$ は、十分に小さい $\varepsilon$ に対して $g(t_\varepsilon) < \frac{d}{n} S(a,b)^{n/(dp)}$ を満たし、これにより(PS)₇条件が成立することが保証される。
• $p=2$, $\Omega = B_1(0)$, $a < \frac{n-2}{2}$, $a \leq b \leq a+1$, $c \leq n-2-2a$, かつ $0 < \lambda < \lambda_1$ のとき、$\mathcal{D}_{a,R}^{1,2}(\Omega)$ 内に非自明な径対称解が存在する。
• $a \geq 0$ かつ $p=2$ のとき、最良定数 $S(a,b)$ は径対称最良定数 $S_R(a,b)$ に等しくなるため、極値関数の対称性が保証される。
• $a < 0$ のとき、$S(a,b) < S_R(a,b)$ であり、これは対称性の破れを示しており、(PS)₇条件の検証が著しく困難になる。
• 非存在性の結果はPohozaev型の恒等式を用いて導出され、特定のパラメータ制約下では解が存在しないことが示される。