[論文レビュー] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given matching number

Ting Zhou, Zhen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Graph theory and applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、次数 $ n $ かつマッチング数 $ m $ を固定したすべてのグラフの中で、Sombor指標が最大となる木およびユニサイクリックグラフを特定し、それぞれ extremal グラフが $ T_{n,m} $ および $ U_{n,m} $ であることを証明している。Sombor指標は、高次元頂点が集中する場合に最大化され、次数に基づく最適化およびグラフ変換技術を用いて extremal 構造が完全に同定されている。

ABSTRACT

In 2021, the Sombor index was introduced by Gutman, which is a new degree-based topological molecular descriptors. The Sombor index of a graph $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, where $d_G(v)$ is the degree of the vertex $v$ in $G$. Let $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$ be the set of trees and unicyclic graphs on $n$ vertices with fixed matching number $m$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with the maximum Sombor index are determined among $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$, respectively.

研究の動機と目的

• 次数 $ n $ かつマッチング数 $ m $ を持つすべての木の中で、Sombor 指標が最大となる木を特定すること。
• 次数 $ n $ かつマッチング数 $ m $ を持つすべてのユニサイクリックグラフの中で、Sombor 指標が最大となるグラフを特定すること。
• 与えられた制約のもとで Sombor 指標が最大となる extremal グラフ $ T_{n,m} $ および $ U_{n,m} $ を特徴づけること。
• マッチング数が固定された木およびユニサイクリックグラフの Sombor 指標に対して、タイトな上界を確立すること。

提案手法

• Sombor指標は、$ SO(G) = \nsum_{uv ∈ E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2} $ として定義され、次数に基づくトポロジカル記述子である。
• 高次元頂点を集中させるために、エッジを再配置するグラフ変換技術が用いられ、Sombor指標を増加させる。
• Lemma 2.3 に依拠しており、低次元頂点から高次元頂点へエッジを移動させることで Sombor指標が増加することを示している。
• $ n $ と $ m $ における帰納法を用いて extremality を証明し、$ n = 2m $ の場合を基本ケースとして検証している。
• 関数 $ h_1(x) = \sqrt{x^2 + a} - \sqrt{(x-1)^2 + a} $ および $ h_2(x) = \sqrt{x^2 + b^2} - \sqrt{x^2 + (b-1)^2} $ の単調性を用いて、指標寄与の比較がなされている。
• extremal グラフ $ T_{n,m} $ および $ U_{n,m} $ は、中心頂点またはサイクルに懸垂頂点およびパスを付加することで構成されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ n $ かつマッチング数 $ m $ を持つ木の中で、Sombor 指標を最大にするものは何か？
• RQ2 次数 $ n $ かつマッチング数 $ m $ を持つユニサイクリックグラフの中で、Sombor 指標を最大にするものは何か？
• RQ3 固定されたマッチング数の制約のもとで、Sombor 指標の extremal グラフを完全に特徴づけられるか？
• RQ4 次数分布およびエッジ構成は、木およびユニサイクリックグラフにおける Sombor 指標にどのように影響するか？

主な発見

• 星グラフ $ S_{n-m+1} $ の非中心頂点に $ m-1 $ 個の懸垂頂点を付加して得られる木 $ T_{n,m} $ は、$ \mathscr{T}_{n,m} $ に属するすべての木の中で最大の Sombor 指標を達成する。
• $ C_3 $ の頂点に $ n-2m+1 $ 個の懸垂頂点および $ m-2 $ 個のパス $ P_2 $ を付加して得られるユニサイクリックグラフ $ U_{n,m} $ は、$ \mathscr{U}_{n,m} $ に属するすべてのユニサイクリックグラフの中で最大の Sombor 指標を達成する。
• 木の最大 Sombor 指標は、$ (n-2m+1)\sqrt{(n-m)^2 + 1} + (m-1)\sqrt{(n-m)^2 + 4} + (m-1)\sqrt{5} $ であり、これは $ T \cong T_{n,m} $ である場合にかつその場合に限り達成される。
• ユニサイクリックグラフの最大 Sombor 指標は、$ m\sqrt{(n-m+1)^2 + 4} + (n-2m+1)\sqrt{(n-m+1)^2 + 1} + \sqrt{5}(m-2) + \sqrt{8} $ であり、これは $ U \cong U_{n,m} $ である場合にかつその場合に限り達成される。
• 上界における等号は、グラフが $ T_{n,m} $ または $ U_{n,m} $ に同型である場合にのみ成立し、それらの extremality が裏付けられる。