[論文レビュー] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given maximum degree

Ting Zhou, Zhen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Graph theory and applications被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ を満たすすべての木およびユニサイクリックグラフの中で、Sombor指数が最小となるグラフを同定する。構造的グラフ変換および次数に基づく最適化を用いて、極値となるグラフが $T_{n,\Delta}$（中心頂点の次数が $\Delta$ の特定の木）および $U_{n,\Delta}$（3サイクルとパントのみが接続されたユニサイクリックグラフ）であることを証明し、与えられた次数制約下で最小のSombor指数を達成することが示された。

ABSTRACT

Let $d_G(v)$ be the degree of the vertex $v$ in a graph $G$. The Sombor index of $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, which is a new degree-based topological index introduced by Gutman. Let $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ be the set of trees and unicyclic graphs with $n$ vertices and maximum degree $Δ$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with minimum Sombor index among $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ are characterized.

研究の動機と目的

• すべての $n$ 頂点で最大次数 $\Delta$ を持つ木の中で、Sombor指数が最小となる木を特定すること。
• すべての $n$ 頂点で最大次数 $\Delta$ を持つユニサイクリックグラフの中で、Sombor指数が最小となるグラフを同定すること。
• $\mathscr{T}_{n,\Delta}$ および $\mathscr{U}_{n,\Delta}$ の極値グラフを構造的最適化技術を用いて特徴付けること。
• $n$ および $\Delta$ を用いたSombor指数の明示的下界を提示し、等号成立条件を特定すること。

提案手法

• 著者らはSombor指数を $SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2}$ として定義し、次数に基づくトポロジカル指標であることを示している。
• グラフ変換操作 $\mathbf{A}_1$ および $\mathbf{A}_2$ を用いて、$n$ および $\Delta$ を維持したまま繰り返しグラフを変形し、Sombor指数を低下させる。
• 構造的主張は背理法により証明される：非極値グラフを仮定すると、より小さいSombor指数をもつグラフが得られる変換が存在する。
• 極値グラフ $T_{n,\Delta}$ および $U_{n,\Delta}$ は、中心頂点または3サイクルにパスやパントエッジを接続することで構築される。
• 極値構造の2通りの配置を区別するために、$\Delta$ と $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$、$\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ の関係に基づく場合分けを用いる。
• 直接計算により、$SO(T_{n,\Delta})$ および $SO(U_{n,\Delta})$ の明示的公式が導出され、検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ 頂点で最大次数 $\Delta$ を持つ木の中で、Sombor指数が最小となるのはどの木か？
• RQ2 すべての $n$ 頂点で最大次数 $\Delta$ を持つユニサイクリックグラフの中で、Sombor指数が最小となるのはどのグラフか？
• RQ3 Sombor指数の極値構造は、$\Delta$ が $n$ に対してどのように依存するか？
• RQ4 化学的木および最大次数 $\Delta = 3$ や $4$ のユニサイクリックグラフにおいて、Sombor指数が最小化される条件は何か？

主な発見

• $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n-1)/2 \rfloor$ の場合、木の中で最小のSombor指数は、$\Delta$ 本の長さ3以上の脚を持つスパイダー $T_\Delta$ で達成される。
• $\lfloor (n-1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ の場合、木の中で最小のSombor指数は、中心頂点の次数が $\Delta$ で $n-\Delta-1$ 個のパントエッジを持つ $T_{n,\Delta}$ で達成される。
• $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ の場合、ユニサイクリックグラフの中で最小のSombor指数は、3サイクルと1つの頂点に接続された長さ2以上の $\Delta-2$ 個のパスを持つ $U_\Delta$ で達成される。
• $\lfloor (n+1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ の場合、ユニサイクリックグラフの中で最小のSombor指数は、3サイクルと1つの頂点に接続された長さ2の $n-\Delta-1$ 個のパスを持つ $U_{n,\Delta}$ で達成される。
• $T_{n,\Delta}$ のSombor指数は $\Delta\sqrt{\Delta^2 + 4} + \sqrt{8}(n - 2\Delta - 1) + \sqrt{5}\Delta$ であり、等号が成り立つのは $T \cong T_{n,\Delta}$ のときに限る。
• $U_{n,\Delta}$ のSombor指数は $(n - \Delta + 1)\sqrt{\Delta^2 + 4} + (2\Delta - n - 1)\sqrt{\Delta^2 + 1} + \sqrt{5}(n - \Delta - 1) + \sqrt{8}$ であり、等号が成り立つのは $U \cong U_{n,\Delta}$ のときに限る。