[論文レビュー] The space of $2$-generator postcritically bounded polynomial semigroups and random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界な平面的後期臨界集合をもつ2生成子多項式半群およびそれらに関連する確率的複素力学系を調査する。後期臨界有界、双曲的、非連結なジュリア集合の各領域の共通部分に属するパラメータに対して、ジュリア集合は開集合条件（ボウエンの公式を伴う）を満たすか、もしくは生成子のジュリア集合が一致する。それ以外の場合、近傍でジュリア集合のハウスドルフ次元は2未満であり、脱出率関数はフラクタル的特異性を示すホルダー連続性を示す。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of $2$-generator semigroups of polynomials with bounded planar postcritical set and associated random dynamics on the Riemann sphere. Also, we investigate the space ${\cal B}$ of such semigroups. We show that for a parameter $h$ in the intersection of ${\cal B}$, the hyperbolicity locus ${\cal H}$ and the closure of the disconnectedness locus (the space of parameters for which the Julia set is disconnected), the corresponding semigroup satisfies either the open set condition (and the Bowen's formula) or that the Julia sets of the two generators coincide. Also, we show that for such a parameter $h$, if the Julia sets of the two generators do not coincide, then there exists a neighborhood $U$ of $h$ in the full parameter space ${\cal P}^{2}$ such that for each parameter in $U$, the Hausdorff dimension of the Julia set of the corresponding semigroup is strictly less than 2. Moreover, we show that the intersection of the connectedness locus and ${\cal B}\cap {\cal H}$ has dense interior. By using the results on the semigroups corresponding to these parameters, we investigate the associated functions which give the probability of tending to $\infty$ (complex analogues of the devil's staircase or Lebesgue's singular functions) and complex analogues of the Takagi function.

研究の動機と目的

• 有界な平面的後期臨界集合をもつ2生成子多項式半群の空間およびその力学的挙動を分析すること。
• 決定的系に存在しない、確率的要因に起因する現象が複素力学系にどのように現れるかを調査すること。
• 半群力学系から生じるデービルの階段関数およびタカギ関数の複素版を研究すること。
• これらの半群の下でのジュリア集合の位相的および測度論的構造を特定すること。
• ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満となる条件を同定すること。

提案手法

• リーマン球面上の有限生成多項式半群の力学を用い、$ J(G) = \bigcup_{j=1}^m h_j^{-1}(J(G)) $ を通じた後退的自己相似性に注目する。
• 2生成子の後期臨界有界半群の空間 $ \mathcal{B} $ を用い、双曲的領域 $ \mathcal{H} $ および非連結性領域の閉包との共通部分を分析する。
• 開集合条件とボウエンの公式を用いて、生成子のジュリア集合が一致するか、分離条件を満たす場合のジュリア集合構造を特徴付ける。
• 脱出率関数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ を分析し、エルゴディック理論および移行作用素技法を用いて、そのホルダー連続性と定数でないことを証明する。
• ハウスドルフ距離におけるジュリア集合写像の連続性およびファトウ集合における球面距離と等連続性の性質に依拠した証明を行う。
• 移行作用素およびスペクトル論を用いて、脱出率関数が特定の $ \alpha $ に対して $ C^\alpha $ でないことを示し、ジュリア集合上にフラクタル的特異性が存在することを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2生成子多項式半群に対して、ジュリア集合が開集合条件を満たすか、生成子のジュリア集合が一致する条件は何か？
• RQ2 脱出率関数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ はジュリア集合上でどのように振る舞い、その正則性は力学にどのように関係するか？
• RQ3 生成子のジュリア集合が一致しないパラメータの近傍で、ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満となるか？
• RQ4 確率的要因に起因する現象は、これらの半群の力学においてどのように現れるか。決定的力学とはどのように異なるか？
• RQ5 この設定におけるデービルの階段関数およびタカギ関数の複素版の性質は何か？

主な発見

• パラメータ $ h $ が $ \mathcal{B} $, $ \mathcal{H} $、および非連結性領域の閉包の共通部分に属するとき、ジュリア集合は開集合条件を満たす（したがってボウエンの公式が成立する）か、もしくは2つの生成子のジュリア集合が一致する。
• 生成子のジュリア集合が一致しない場合、$ h $ の近傍 $ U $ が存在し、$ U $ 内のすべてのパラメータに対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元は2未満である。
• $ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ と連結性領域の共通部分は、$ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ において稠密な内部を持つ。
• 脱出率関数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ は $ \hat{\mathbb{C}} $ 上でホルダー連続であり、点 $ z_0 \in J(g_j) $ におけるホルダー指数は $ -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $ 以下に上界を持つ。
• 関数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ は、$ \partial F_\infty(G) $ や $ \partial \hat{K}(G) $ の任意の点の近傍で定数でないため、ジュリア集合上にフラクタル的特異性を示す。
• 関数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ は $ \alpha > -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $ に対して $ C^\alpha $ に属さないため、ジュリア集合上に非滑らかで特異的な挙動が存在することが確認される。