[論文レビュー] The space of associated metrics on a symplectic manifold

N. K. Smolentsev|ArXiv.org|Aug 16, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、同一型多様体上のリーマン計量の空間を研究し、微分同相群作用の下での商空間の曲率に注目する。水平上りを用いて商空間の断面曲率の公式を導出し、計量の変動から導かれる対称2次形式の発散を含む、独創的な曲率補正項を導入する。

ABSTRACT

The spaces of Riemannian metrics on a closed manifold $M$ are studied. On the space ${\mathcal M}$ of all Riemannian metrics on $M$ the various weak Riemannian structures are defined and the corresponding connections are studied. The space ${\mathcal AM}$ of associated metrics on a symplectic manifold $M,ω$ is considered in more detail. A natural parametrization of the space ${\mathcal AM}$ is defined. It is shown, that ${\mathcal AM}$ is a complex manifold. A curvature of the space ${\mathcal AM}$ and quotient space ${\mathcal AM}/{\mathcal D}_ω$ is found. The finite dimensionality of the space of associated metrics of a constant scalar curvature with Hermitian Ricci tensor is shown.

研究の動機と目的

• 同一型多様体上のリーマン計量の空間の幾何的構造を理解すること。
• 微分同相群による商空間の曲率的性質を分析すること。
• 水平ベクトル場および計量の変動を用いて、商空間の断面曲率の明示的公式を導出すること。
• 発散作用素およびエネルギー汎関数が曲率計算に果たす役割を特定すること。
• 計量空間の曲率と商空間の曲率との間の関係を、対称2次形式の発散を含む補正項を通じて確立すること。

提案手法

• リーマン計量からその torsion-free Levi-Civita 接続への微分作用素を定義し、クリスツェル記号の変動を捉える。
• 計量およびシンプレクティック構造を用いて、対称2次テンソルへの縮約および発散作用を導入する。
• テンソル場の発散および縮約を含む新しい双線形演算 {a, b} を定義し、曲率補正を符号化する。
• 商空間から全計量空間へのベクトル場の水平上りを用いて、基底空間における曲率を計算する。
• エネルギー作用素 Eg および計量変動のシンプレクティック双対の発散を用いて、垂直部分空間への直交射影を適用する。
• エネルギー汎関数で重み付けられた {a, b} の発散の積分を含む補正項を加えることで、商空間の断面曲率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相群による商空間の断面曲率は、全計量空間の曲率とどのように関係するか？
• RQ2 双線形形式 {a, b} の発散が、商空間の曲率補正に果たす役割は何か？
• RQ3 計量空間上の水平ベクトル場は、どのように全空間に上るのか。また、その Lie 括弧は垂直部分空間にどのように射影されるか？
• RQ4 作用素 Eg の幾何的意味は何か。また、発散およびシンプレクティック構造とどのように相互作用するか？
• RQ5 商空間の曲率は、エネルギー汎関数および計量変動といった内在的幾何的量を用いて表現可能か？

主な発見

• 水平ベクトル場の Lie 括弧は、[a, b]_V = -α_g J grad E_g^{-1} div J {a, b} により垂直部分空間に射影され、曲率がエネルギー汎関数と関連づけられる。
• 商空間の断面曲率は K(ā, b̄) = K(a, b) + (3/4) ||a ∧ b||^2 ∫_M (div J {a, b})(E_g^{-1}(div J {a, b})) dμ_g で与えられ、{a, b} の発散に依存する補正項を示す。
• 曲率公式における補正項は、{a, b} の発散にエネルギー作用素の逆作用素を適用したものであり、非自明な幾何的相互作用を示す。
• 計量 g における垂直部分空間は、f をハミルトニアン関数として h = α_g J grad f の形の2次形式から成り、この部分空間への射影は Eg および発散作用素を用いて表現される。
• 曲率公式は商空間の正則点で有効であり、群作用の下で幾何的構造が適切に定義されることを保証する。
• 導出により、計量空間の曲率と商空間の曲率との間の明確な関係が、双線形形式 {a, b} の発散を通じて確立される。