[論文レビュー] The space of Cohen-Macaulay curves

Katharina Heinrich|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$W$ というスキームを構成し、$\pi: W \to \mathrm{CM}$ を代表的で、全射的で、滑らかな準同型として構成する。これにより、$\mathbb{P}^n$ への有限な、一般に閉イントラクションである写像を持つコhen–マカウレイ曲線をパラメトライズするモジュライ函手 $\mathrm{CM}$ が代数的空間であることを証明する。さらに、構造層のコherently な性質と深さ条件に基づく明示的な幾何的議論を用いて、$\mathrm{CM}$ が固有性の値の基準を満たすことを示し、それが固有の代数的空間であることを確認する。

ABSTRACT

One can consider the Hilbert scheme as a natural compactification of the space of smooth projective curves with fixed Hilbert polynomial. Here we consider a different modular compactification, namely the functor CM parameterizing curves together with a finite map to $\mathbb{P}^n$ that is generically a closed immersion. We prove that CM is an algebraic space by contructing a scheme W and a representable, surjective and smooth map W -> CM. Moreover, we show that CM satisfies the valuative criterion for properness.

研究の動機と目的

• コhen–マカウレイ曲線で、$\mathbb{P}^n$ への有限で一般に閉イントラクションである写像を持つものからなるモジュライ函手 $\mathrm{CM}$ が代数的空間であることを再証明し、以前の証明におけるギャップを解消すること。
• 以前の不完全な議論を置き換えるために、滑らかで、全射的で、代表的なスキーム被覆 $\pi: W \to \mathrm{CM}$ のより明示的かつ簡略化された構成を提供すること。
• 抽象的基準ではなく、構造層の深さとコherently 性の性質に基づく直接的で幾何的な証明を用いて、$\mathrm{CM}$ の固有性を確立すること。
• 退化する部分スキームを含むヒルベルトスキームのコンパクト化とは異なる、曲線のモジュライ空間の基礎的枠組みを明確化し、強化すること。

提案手法

• 平坦な基底上の曲線 $C$ と、$i: C \to \mathbb{P}^n_S$ が有限かつ一般に閉イントラクションであるようなペア $(C, i)$ をパラメトライズするスキーム $W$ を、明示的な幾何的データとコherently な層の構成を用いて構成する。
• $\mathrm{CM}(S)$ を、ファイバー上の純粋性、コhen–マカウレイ性、およびヒルベルト多項式の条件を満たすようなペアの同型類の集合として定義する。
• 離散値環 $R$ における $\mathbb{P}^n_R$ 上の像のスキーム的閉包を用いて、一般家族の極限を構成する。
• $Z$ の稠密な開部分集合 $U \subset Z$ 上で $\mathcal{O}_{U_1}$ と $(h_K)_*\mathcal{O}_{C_K}$ を貼り合わせたものとして、$\mathcal{O}_Z$-代数 $\mathcal{A}$ を定義し、$C := \mathbf{Spec}(\mathcal{A})$ とおく。
• 余次元と深さの議論を用いて、$\mathcal{A}$ が $\mathcal{O}_Z$-加群としてコherently でコhen–マカウレイ的であることを証明し、$C$ が $\operatorname{Spec}(R)$ に対して平坦かつコhen–マカウレイ的であることを保証する。
• 非コhen–マカウレイ的局所と関連点を分析することで、閉ファイバー $C_0$ がコhen–マカウレイ的であり、$i_0$ が有限個の点を除いて同型であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhen–マカウレイ曲線で、$\mathbb{P}^n$ への有限で一般に閉イントラクションである写像を持つものからなるモジュライ函手 $\mathrm{CM}$ は代数的空間として代表可能か？
• RQ2 滑らかで、全射的で、代表的なスキーム被覆 $\pi: W \to \mathrm{CM}$ を明示的に構成でき、以前の不完全な議論を置き換えられるか？
• RQ3 $\mathrm{CM}$ は固有性の値の基準を満たすか？ これにより、任意の家族が離散値環の一般点上で定義され、特殊ファイバーに一意に拡張可能である。
• RQ4 構造層のコherently 性とコhen–マカウレイ的性質をどのように用いて、退化における平坦性と幾何的有限性を保証できるか？

主な発見

• モジュライ函手 $\mathrm{CM}$ は、スキーム $W$ と代表的で、全射的で、滑らかな準同型 $\pi: W \to \mathrm{CM}$ を構成することにより、代数的空間であることが示された。
• $W$ の構成は、ホンセンの元々の議論におけるギャップを解消するより明示的かつ簡略化された代替案を提供する。
• 空間 $\mathrm{CM}$ は固有性の値の基準を満たしており、これは、任意の家族が離散値環の一般点上で定義され、特殊ファイバーに一意に拡張可能であることを意味する。
• 全空間 $C$ の構造層 $\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_Z$-加群としてコherently でコhen–マカウレイ的であり、$C$ が $\operatorname{Spec}(R)$ に対して平坦かつコhen–マカウレイ的であることを保証する。
• 閉ファイバー $C_0$ はコhen–マカウレイ的であり、写像 $i_0: C_0 \to \mathbb{P}^n_k$ は有限個の点を除いて同型である。これは $\mathrm{CM}$ の幾何的条件を満たす。
• ヒルベルト多項式は基底変換に関して保存されるため、極限対象が $\mathrm{CM}(\operatorname{Spec}(R))$ に属することを確認できる。