[論文レビュー] The space of complete embedded maximal surfaces with isolated singularities in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $ł^3$

Isabel Fernández, Francisco J. López+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、3次元のローレンツ＝ミンコフスキー空間 $β^3$ に埋め込まれた完全な極大表面で、孤立した円錐型特異点を有限個もつものについて、それが任意の時空的平面への全図（entire graph）であり、平面または半カタネノイドに漸近することを確立する。このような図のモジュライ空間 $τ_n$ を $3n+4$ 次元の滑らかな多様体として構成し、Weierstrassデータとスピンorialバンドルを用いて、次元 $3n-1$ の商空間 $ς_n$ を解析的多様体として同定する。収束はコンパクト集合上で一様収束およびコンformal構造の極限によって定義される。

ABSTRACT

We show that a complete embedded maximal surface in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $L^3$ with a finite number of singularities is, up to a Lorentzian isometry, an entire graph over any spacelike plane asymptotic to a vertical half catenoid or a horizontal plane and with conelike singular points. We study the space $G_n$ of entire maximal graphs over $\{x_3=0\}$ in $L^3$ with $n+1 \geq 2$ conelike singularities and vertical limit normal vector at infinity. We show that $G_n$ is a real analytic manifold of dimension $3n+4,$ and the coordinates are given by the position of the singular points in $R^3$ and the logarithmic growth at the end. We also introduce the moduli space $M_n$ of {\em marked} graphs with $n+1$ singular points (a mark in a graph is an ordering of its singularities), which is a $(n+1)$-sheeted covering of $G_n.$ We prove that identifying marked graphs differing by translations, rotations about a vertical axis, homotheties or symmetries about a horizontal plane, the corresponding quotient space $M_n$ is an analytic manifold of dimension $3n-1.$

研究の動機と目的

• $β^3$ 内で孤立した特異点を有限個もつ完全な埋め込み極大表面の分類を行う。
• ${ x_3=0}$ 上の全極大図で $n+1$ 個の特異点と無限遠における垂直な極限法線をもつもののモジュライ空間 $τ_n$ を構成し、解析する。
• 環境の対称性によるマーク付き図の商空間 $ς_n$ を、次元 $3n-1$ の解析的多様体として同定する。
• 収束が $τ_n$ で発生するとき、それが ${ x_3=0}$ 上のコンパクト部分集合での一様収束およびコンformal構造とWeierstrassデータの収束に一致することを確立する。

提案手法

• Weierstrass表現を用いて $β^3$ 内の極大表面を、メロモルフィックデータと正則1形式によるパラメトライゼーションを行う。
• 円錐型特異点におけるSchwarz反射を適用して表面を完全なmaxfaceへ拡張し、代数幾何学理論と結びつける。
• 特異点の位置と無限遠における対数的成長をグローバル解析的座標として用い、$τ_n$ を $3n+4$ 次元の滑らかな多様体として定義する。
• $n+1$ 枚のシートを持つ $τ_n$ の被覆として $ς_n$ を構成し、特異点にマークを加えた後、環境の対称性（平行移動、回転、スケーリング、反転）による商をとる。
• $ς_n$ に、Weierstrassデータの空間への写像 $ς_s_2$ を用いて解析的構造を与える。これは解析的な部分埋め込みであることを示す。
• スピンorialバンドル ${\cal S}_n$ を用いて $ς_n$ をWeierstrassデータのモジュライ空間と同定し、その解析的多様体構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $β^3$ 内で有限個の孤立した円錐型特異点をもつ完全な埋め込み極大表面のモジュライ空間のグローバル構造は何か？
• RQ2 このような表面の収束が、それらのコンフォーマル構造およびWeierstrassデータの収束とどのように関係するか？
• RQ3 $n+1$ 個の特異点をもつマーク付き図のモジュライ空間は、同相の解析的多様体構造を引き継ぐ商空間に還元可能か？
• RQ4 環境等長変換およびスケーリングを同一視した後、このような表面のモジュライ空間の次元は何か？
• RQ5 マーク付きモジュライ空間から未マークモジュライ空間への射影は、対称的でない図の補集合において解析的被覆写像か？

主な発見

• $β^3$ 内で有限個の孤立した特異点をもつ完全な埋め込み極大表面は、任意の時空的平面への全図であり、円錐型特異点をもち、時空的平面または半カタネノイドに漸近する。
• $n+1 \geq 2$ 個の特異点と無限遠における垂直な極限法線をもつ全極大図のモジュライ空間 $τ_n$ は、$3n+4$ 次元の滑らかな多様体である。
• $τ_n$ 内での収束は、${ x_3=0}$ のコンパクト部分集合上で図の一致収束およびコンフォーマル構造とWeierstrassデータの収束に等しい。
• $n+1$ 個の特異点をもつマーク付き図のモジュライ空間 $ς_n$ は $τ_n$ の $(n+1)$ 枚のシートの被覆であり、環境の対称性による商空間 $ς_n$ は次元 $3n-1$ の解析的多様体である。
• $ς_n$ は、$τ_n$ に属する図のWeierstrassデータのモジュライ空間に関連するスピンorialバンドル ${\cal S}_n$ と同定可能であり、自然な解析的構造をもつ。
• $ς_s_1: ς_n \to \u03c4_n$ の写像は、対称的でない図の補集合において、$(n+1)!$ 枚のシートを持つ解析的被覆写像である。これにより、モジュライ空間のグローバルな解析的構造が裏付けられる。