[論文レビュー] The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold II; Multi-valued graphs in disks

Tobias Colding, William P. Minicozzi|ArXiv.org|Oct 7, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、3次元多様体における埋め込み最小ディスクが大きな曲率を示す場合、境界にほぼ達するまで延びるほぼ平坦な多価グラフを含むことを確立する。曲率の爆発解析と内在的幾何不等式を用いて、このようなディスクが極限で滑らかな最小グラフに収束することを証明し、高曲率点付近の局所的構造を解明し、[CM3]の結果を拡張する。

ABSTRACT

This paper is the second in a series where we attempt to give a complete description of the space of all embedded minimal surfaces of fixed genus in a fixed (but arbitrary) closed 3-manifold. The key for understanding such surfaces is to understand the local structure in a ball and in particular the structure of an embedded minimal disk in a ball in $\RR^3$. We show here that if the curvature of such a disk becomes large at some point, then it contains an almost flat multi-valued graph nearby that continues almost all the way to the boundary.

研究の動機と目的

• ボール内の埋め込み最小ディスクを分析することで、3次元多様体における埋め込み最小曲面の局所的構造を理解すること。
• 曲率が点で爆発する場合の最小ディスクの挙動を解明し、このような曲面を分類する上での主要な障害を克服すること。
• 高曲率点が境界に近づく多価グラフの存在に関連していることを確立すること。
• 曲率と分離推定値を用いて、このようなディスクの列が極限で滑らかな最小グラフに収束することを証明すること。

提案手法

• 高曲率点の近傍をスケーリングする吹き出し法を用い、近傍にほぼ平坦な多価グラフの存在を示す。
• ポincare型およびカッチォッリ型不等式を適用し、面積と曲率を評価し、内在的幾何と曲率推定値を結びつける。
• ハーナック不等式と安定性推定値を用いて、多価グラフのシート間の分離を制御する。
• 曲率の上限と[CM3]の亜線形成長推定値を組み合わせ、シートの分離が線形より遅く増加することを示す。
• 除去可能特異点定理を用いて、極限の2価グラフを原点を通って滑らかな最小グラフに拡張する。
• 内在的幾何と回転不変性に依拠し、任意の3次元多様体の局所的に有効な普遍的モデルであるR³への問題の簡約を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率が大きくなるとき、埋め込み最小ディスクにどのような局所的幾何的構造が現れるか？
• RQ2 高曲率点の近傍に埋め込み最小ディスク内に多価グラフを見出すことができるか？
• RQ3 高曲率点から遠ざかるにつれて、多価グラフのシート間の分離はどのように変化するか？
• RQ4 曲率が点で爆発する埋め込み最小ディスクの列の極限的挙動は何か？
• RQ5 このような列の極限が、高曲率点を通る滑らかな最小グラフである可能性はあるか？

主な発見

• 埋め込み最小ディスクの曲率が $ r_0^{-2} $ に比例する閾値を超える場合、$ D_{R/C_2} \setminus D_{2r_0} $ 上の $ N $-値グラフが存在し、勾配は $ \leq \epsilon $ で、角度 $ \epsilon $ の円錐内に含まれる。
• 任意の $ N \in \mathbb{Z}_+ $、$ \epsilon > 0 $ に対して、$ C_1, C_2 > 0 $ が存在し、大きな曲率が、境界にほぼ達するまで延びる平坦な多価グラフの存在を示す。
• 曲率が点 $ y_i $ で爆発するとき、最小ディスクの列に2価グラフが含まれ、極限点を通る滑らかな最小グラフに収束する。
• 多価グラフのシート間の分離は亜線形的に増加し、ある $ \alpha < 1 $ に対して $ u(2R) \leq 2^\alpha u(R) $ を満たす。これにより、極限でグラフが閉じる。
• 2価グラフの極限は、原点を除いたドメイン上の滑らかな最小グラフであり、除去可能特異点定理により原点でも滑らかに拡張可能である。
• 2価グラフの収束は、原点を除くコンパクト集合上で一様に、かつ重複度2で発生する。