[論文レビュー] The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold IV; Locally simply connected

Tobias Colding, William P. Minicozzi|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝ³の球内の埋め込み最小円板に対して片側曲率推定を確立し、曲率が発散する場合、表面は特異なリプシッツ曲線（軸）の周りを二重にねじれながら多価グラフを形成し、軸から離れるに従い平行平面によるfoliationに収束することを証明する。主な結果は、ヘリコイドのスケーリング挙動を一般化し、3次元多様体における固定 genus の埋め込み最小表面の基礎的構造定理を提供する。

ABSTRACT

This paper is the fourth in a series where we describe the space of all embedded minimal surfaces of fixed genus in a fixed (but arbitrary) closed 3-manifold. The key is to understand the structure of an embedded minimal disk in a ball in $\RR^3$. This was undertaken in [CM3], [CM4] and the global version of it will be completed here; see [CM15] for discussion of the local case and [CM13], [CM14] where we have surveyed our results about embedded minimal disks.

研究の動機と目的

• 埋め込み最小円板のℝ³の球における片側曲率推定を確立し、最小表面のグローバル構造を理解するために不可欠である。
• 曲率が無限大に発散する埋め込み最小円板の列の漸近的挙動を分析し、特異軸と多価グラフ構造を同定する。
• 埋め込み最小円板の理論を3次元多様体におけるグローバル設定に拡張し、特に固定 genus の表面に対して行う。
• ヘリコイドをプロトタイプとして用い、最小表面の列の極限挙動の幾何的モデルを提供する。
• 特異集合がリプシッツ曲線であることを証明し、その周囲を除く領域で表面がC^α位相で平面のfoliationに収束することを示す。

提案手法

• 片側曲率推定（定理0.1）を用いて、半球内の埋め込み最小円板における曲率の増大を制御する。
• 穴あき平面の被覆空間におけるアニュラス上での多価グラフの概念を適用し、各シート間の分離関数w(ρ,θ)を導入する。
• スケーリング技術とアーヴェツァ・アスコリの定理によるコンパクトネスの議論を用い、C^α位相で収束する部分列を抽出する。
• 最大原理と曲率推定を適用し、二つのねじれ多価グラフ以外の成分が存在しないことを排除する。
• 表面の位相的性質（例えば、アニュラス構造、genusの制約）と背理法を用い、二つのグラフ構造の一意性を証明する。
• 先行研究[CM3]–[CM5]、[CM7]、および[CM15]の結果に依拠し、最小円板の局所的およびグローバルな構造定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³内の固定された球で曲率が無限大に発散する埋め込み最小円板の列は、どのように振る舞うか？
• RQ2 曲率が発散する特異集合付近での表面構造は、どのように振る舞うか？
• RQ3 このような列の極限は、特異曲線を除く領域で平行平面のfoliationとして記述可能か？
• RQ4 大きな曲率を持つ最小表面が中心軸の周りをねじれながら二つの多価グラフから成ることを保証する条件は何か？
• RQ5 なぜ片側曲率推定において単連結性の仮定が本質的なのか？

主な発見

• ℝ³の球内の埋め込み最小円板の列で曲率が発散する場合、回転を施すと特異集合はリプシッツ曲線x₃(t) = t となり、これは回転の軸である。
• 各表面は、特異集合から離れるに従い、正確に二つのねじれ多価グラフから成る。
• 表面は、任意のα < 1についてC^α位相で、特異曲線を除く領域で{ x₃ = t }の平行平面のfoliationに収束する。
• 曲率は、特異曲線上の任意の球内で一様に発散する。すなわち、任意のr > 0についてsup_Br(S(t))∩Σj |A|² → ∞ である。
• 片側曲率推定は鋭い：表面が単連結であるという仮定は、リスケールドカタノイドなどの反例によって必要不可欠であることが示される。
• 本結果は、ヘリコイドのスケーリング極限を一般化し、特異集合が軸となる平行平面のfoliationに収束する。