[論文レビュー] The Space of Kähler metrics (II)

Eugenio Calabi, Xiaojuan Chen|ArXiv.org|Aug 23, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 153

ひとこと要約

この論文は、固定されたケーラー類内のケーラー計量の空間がアレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間であることを確立し、カルビー・フロー（Kエネルギーの勾配フロー）が、正則自己同型に相当するもの以外のすべての曲線の長さを厳密に短縮することを証明する。これは、測地線の正則性を仮定すれば、正則変換による同値を除いて極値ケーラー計量の一意性を示し、無限次元幾何における安定性と極値計量の存在を結びつける幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper, the second of a series, deals with the function space of all smooth Kähler metrics in any given closed complex manifold $M$ in a fixed cohomology class. The previous result of the second author \cite{chen991} showed that the space is a path length space and it is geodesically convex in the sense that any two points are joined by a unique path, which is always length minimizing and of class C^{1,1}. This already confirms one of Donaldson's conjecture completely and verifies another one partially. In the present paper, we show first of all, that the space is, as expected, a path length space of non-positive curvature in the sense of A. D. Alexanderov. The second result is related to the theory of extremal Kähler metrics, namely that the gradient flow of the K energy is strictly length decreasing on all paths except those induced by a path of holomorphic automorphisms of $M$. This result, in particular, implies that extremal Kähler metric is unique up to holomorphic transformations, provided that Donaldson's conjecture on the regularity of geodesic is true.

研究の動機と目的

• 固定されたコhomology類内のケーラー計量の空間が、アレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間であることを確立すること。
• ケーラーポテンシャルの空間におけるカルビー・フロー（Kエネルギーの勾配フロー）の挙動を調査すること。
• 測地線の正則性を仮定すれば、正則自己同型による同値を除いて極値ケーラー計量の一意性を証明すること。
• ケーラー幾何における安定性予想、特にヤウの予想と、ケーラー計量の空間の幾何的構造を結びつけること。

提案手法

• Weil-Peterson型L²計量を備えたケーラーポテンシャルの空間上のpre-Hilbert多様体構造を利用する。
• 第二著者の先行結果に基づき、ケーラーポテンシャルの空間における$C^{1,1}$測地線の理論を応用する。
• Lichnerowicz作用素を用いてカルビー・フローの変動を分析し、長さ短縮性を導出する。
• アレクサンドロフ幾何学からの距離比較不等式を用いて、距離空間の非正曲率を検証する。
• 測地線が対称な極値計量を結ぶ間、対称性を保つために最大値原理を適用する。
• カルビー・フローに沿った長さの第二変分を分析し、曲線が正則変換に相当する場合を除き、長さが厳密に減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたケーラー類内のケーラー計量の空間は、アレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間か？
• RQ2 カルビー・フローは、正則自己同型によって誘導されるもの以外の、ケーラーポテンシャル空間内のすべての滑らかな曲線の長さを厳密に短縮するか？
• RQ3 カルビー・フローの長さ短縮性によって、極値ケーラー計量の一意性を確立できるか？
• RQ4 無限次元ケーラーポテンシャル空間の安定性と極値ケーラー計量の存在との関係は何か？
• RQ5 測地線の正則性が、距離空間の曲率および一意性の性質に与える影響は何か？

主な発見

• 固定されたケーラー類内のケーラーポテンシャルの空間は、アレクサンドロフの非正曲率不等式を満たす：$ d(A,P_{\nu})^2 \leq (1-\nu)d(A,B)^2 + \nu d(A,C)^2 - \nu(1-\nu)d(B,C)^2 $ 任意の $ 0 \leq \nu \leq 1 $ に対して成立。
• 2つのケーラー・ポテンシャルを結ぶ曲線の最小化列は、ケーラー・ポテンシャル空間内に唯一の $ C^{1,1} $ 測地線に収束する。
• カルビー・フローは、ケーラー・ポテンシャル空間内の任意の滑らかな曲線の長さを、その曲線が正則自己同型の経路に相当する場合を除き、厳密に短縮する。
• Kエネルギーの勾配フローは、ケーラー計量の空間上で距離を減少させる写像である。これは、測地線が $ C^4 $ であれば、極値ケーラー計量が正則変換による同値を除いて一意であることを示唆する。
• Kエネルギーが測地線に沿って弱く凸であれば、カルビー・フローは距離を減少させる。特に $ C_1(V) \leq 0 $ のときにはこの性質が成り立つ。
• カルビー・フローがケーラー・ポテンシャル空間内の大きな球を収縮するという形式的図式は、極値計量の存在を示唆するメカニズムを示しており、2通りの結果が想定される：一意な極値計量への収束、または無限遠への逸脱。それぞれが空間の安定性または不安定性に対応する。