[論文レビュー] The space of Penrose tilings and the non-commutative curve with homogeneous coordinate ring k/(y^2)

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非可換代数幾何学的対応関係を、ペイノ・タイリングの空間と、同型座標環 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ で定義される非可換曲線の間で確立する。等長変換不変なタイリングは、この曲線上の準同型のスカイクラッパー層に対応し、この層の圏と、ノルム閉包がペイノ・タイリングのコンヌーのAF代数となるヴォイナム正則環上の加群の圏との同値性を示している。

ABSTRACT

We construct a non-commutative scheme that behaves as if it is the space of Penrose tilings of the plane. Let k be a field and B=k(y^2). We consider B as the homogeneous coordinate ring of a non-commutative projective scheme. The category of "quasi-coherent sheaves" on it is, by fiat, the quotient category QGr(B):=Gr(B)/Fdim(B) and the category of coherent sheaves on it is qgr(B):=gr(B)/fdim(B), where gr(B) is the category of finitely presented graded modules and fdim(B) is the full subcategory of finite dimensional graded modules. We show that QGr B is equivalent to Mod S, the category of left modules over the ring S that is the direct limit of the directed system of finite dimensional semisimple algebras S_n=M_{f_n}(k) + M_{f_{n-1}}(k) where f_{n-1} and f_n$ are adjacent Fibonacci numbers and the maps S_n o S_{n+1} are (a,b)--->(diag(a,b),a). When k is the complex numbers, the norm closure of S is the C^*-algebra Connes uses to view the space of Penrose tilings as a non-commutative space. Objects in QGr B have projective resolutions of length at most one so the non-commutative scheme is, in a certain sense, a smooth non-commutative curve. Penrose tilings of the plane are in bijection with infinite sequences z=z_0z_1 ... of 0s and 1s with no consecutive 1s. We associate to each such sequence a graded B-module, a "point module", that becomes a simple object O_z in QGr B that we think of as a "skyscraper sheaf" at a "point" on this non-commutative curve. Tilings T_z and T_{z'} determined by two such sequences are equivalent, i.e., the same up to a translation on R^2, if and only if O_z is isomorphic to O_{z'}. A result of Herbera shows that Ext^1(O_z,O_{z'}) is non-zero for all z and z'. This as an algebraic analogue of the fact that every equivalence class of tilings is dense in the set of all Penrose tilings.

研究の動機と目的

• ペイノ・タイリングの空間に対する非可換代数幾何的モデルを確立すること。
• 個々のペイノ・タイリングが、同型座標環 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ を持つ非可換曲線上の「点」として対応することを示すこと。
• 2つのタイリングが等長であるための必要十分条件が、$\operatorname{QGr}B$ 圈内での対応する点のスカイクラッパー層が同型であることであることを証明すること。
• この非可換曲線上の準同型層の圏と、ヴォイナム正則環上の加群の圏との同値性を示すこと。
• 直接極限とノルム閉包を介して、この代数的構造をペイノ・タイリングの空間に対するコンヌーのAF代数に結びつけること。

提案手法

• 非可換代数幾何学を用いて、$B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ に対して $\operatorname{Proj}_{nc}B$ を定義し、これを非可換スキームとみなす。
• 非可換曲線上の準同型層をモデル化するため、$\operatorname{QGr}B = \operatorname{Gr}B / \operatorname{Fdim}B$ を商圏として定義する。
• 点選択と反復合成を介して、ペイノ・タイリングと、隣接する1が存在しない0と1の無限列との間の対応関係を確立する。
• 接続写像 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$ を持つ、有限次元 $C^*$-代数 $S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$ の有向系を構成し、その直接極限としてヴォイナム正則環 $S$ を得る。
• $\operatorname{QGr}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)) \cong \operatorname{Mod}S$ の圏同値性を証明し、$\mathcal{O}$ が $S$ にマッピングされることを示し、$S$ のノルム閉包がコンヌーのAF代数であることを示す。
• 点モジュール列とブラッテリ図の半無限路を用いて、点モジュールを分類し、ペイノ列の尾部と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペイノ・タイリングの空間を非可換幾何学を用いて代数的にどのようにモデル化できるか？
• RQ2 ペイノ・タイリングと非可換環上の加群との間の圏的対応関係は何か？
• RQ3 ペイノ・タイリングの等長変換不変部分集合は、非可換設定下での層の同型とどのように関係するか？
• RQ4 非可換曲線 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 上の準同型層の圏の代数的構造は何か？
• RQ5 有限次元代数の直接極限は、ペイノ・タイリングの空間に対するコンヌーのAF代数とどのように関係するか？

主な発見

• 非可換曲線 $\operatorname{Proj}_{nc}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2))$ 上の準同型層の圏は、$S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$ と写像 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$ の系の直接極限として得られるヴォイナム正則環 $S$ 上の加群の圏と同値である。
• $S$ のノルム閉包は、アラン・コンヌーがペイノ・タイリングの空間に関連付けるAF代数である。
• 2つのペイノ・タイリングが等長であるための必要十分条件は、$\operatorname{QGr}B$ 内で対応する点のスカイクラッパー層が同型であることである。
• 非可換曲線上の有理型層の圏 $\operatorname{qgr}B$ は、$S$ 上の有限生成表示加群の圏と同値であり、すなわち $\operatorname{qgr}B \cong \operatorname{mod}S$ である。
• $B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ の点モジュールは、$a_i = \infty$ ならば $ye_i = 0$ であり、$a_i \neq \infty$ ならば $a_{i+1} = \infty$ であるような列 $a_0, a_1, \ldots$ によって分類され、尾部同値によって同値関係が定義される。
• 点モジュール列から、頂点0から出発するブラッテリ図の半無限路への全射写像 $\Psi$ が存在し、そのファイバーは $\mathbb{C}$ と $\{\infty\}$ の積であり、非可換空間の構造を反映している。