[論文レビュー] The space of persistence diagrams fails to have Yu's property A

G. Bell, Austin Lawson+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、水準距離を備えた持久的図の空間が、ヒルバート空間への一様埋め込みを示す粗幾何的条件であるYuの性質Aを満たさないことを示している。著者らは、性質Aの障害をなす構造的要因として$k$-ピラミッドを導入し、持久的図がこのような構造を含むことを証明することで、この文脈において性質Aが成立しないことを示している。

ABSTRACT

We define a simple obstruction to Yu's property A that we call $k$-prisms. This structure allows for a straightforward proof that the space of persistence diagrams fails to have property A in a Wasserstein metric.

研究の動機と目的

• 水準距離（例：水準距離）を備えた持久的図の空間の粗幾何的性質を調査すること。
• 持久的図の空間が、ヒルバート空間への一様埋め込みに関連するYuの性質Aを満たすかどうかを特定すること。
• 特定の等長埋め込みパターンを示すメトリック空間に適用可能な、新しい単純な性質Aの障害である$k$-ピラミッドを確立すること。
• 持久的図が$k$-ピラミッドを含むことを示し、水準距離において性質Aを有しないことを証明すること。
• この結果が、ヒルバート空間への埋め込みが一般的に用いられるトップロジカルデータ解析におけるカーネル法に与える影響を明確にすること。

提案手法

• k-ピラミッドの概念を導入：有限集合$F$が、$F$内の点の距離が保存され、$x \in F$と$T(y)$との距離がちょうど$k + d(x,y)$となるように、$F$と交差しない等長像$T(F)$を持つメトリック空間の構造。
• 任意の$k$-ピラミッドを含むメトリック空間が、性質Aに失敗するノワカの反例空間$C_k$の等長コピーを含むことを証明。
• 補題2.5を用いて、$k$-ピラミッドが、任意の$n$に対して$\{k, 2k, 3k, \dots\}$および$\{0,k\}^n$の等長コピーの存在を示す。
• 点$p$が対角線$\Delta_{\mathbb{R}}$からの距離が$k$であるとき、$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$を満たすように、$\mathbb{R}^2$上の$\ell^\infty$-ノルムを用いて持久的図にメトリック$\varrho$を定義。
• 非対角点$p$に対して、$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$を満たすとき、$T(D) = D + \mathbbm{1}_p$という平行移動写像を構成し、これが$k$-ピラミッドの条件を満たすことを示す。
• 水準距離$q$-メトリックが$W^q = (W_\varrho)^{1/q}$として実現可能であり、点の集合$\{(x, x + k^{1/q})\}$が有界でないことを確認することで、$k$-図形的可従性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水準距離$q$-メトリック（$0 < q < \infty$）を備えた$\mathbb{R}$上の持久的図の空間は、Yuの性質Aを満たすか？
• RQ2 メトリック空間に$k$-ピラミッドが存在することは、一般に性質Aの障害として用いられるか？
• RQ3 ボトルネック距離を備えた持久的図の空間の漸近次元は無限大か？
• RQ4 性質Aの失敗にもかかわらず、持久的図のヒルバート空間への一様埋め込みは存在するか？
• RQ5 $k$-ピラミッドの障害は、ボトルネック距離などの持久的図の他のメトリックへも拡張可能か？

主な発見

• 任意の$q > 0$に対して、$\mathbb{R}$上の水準距離$q$-メトリックを備えた持久的図の空間は、Yuの性質Aを満たさない。
• 著者らは、性質Aの新しい単純な障害として$k$-ピラミッドを導入し、これはノワカの反例空間$C_k$の等長コピーの存在を示唆する。
• 任意の$k > 0$に対して、持久的図は$k$-ピラミッドを含む。これは、$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$を満たす適切に選ばれた点$p$に対して、$T(D) = D + \mathbbm{1}_p$という平行移動写像を構成することで示された。
• この構成により、$W_\varrho(D, T(D')) = W_\varrho(D, D') + k$が成り立ち、$k$-ピラミッド条件（3）を満たす。同時に等長性と交差性も保たれる。
• $C_k$は持久的図の空間に等長的に埋め込まれており、$C_k$が性質Aを満たさないため、持久的図の空間も性質Aを満たさない。
• この結果は、ヒルバート空間への一様埋め込みが不可能であるとは示していないため、性質Aの失敗にもかかわらず、そのような埋め込みが存在するかは未解決のまま残っている。