[論文レビュー] The Space of Positive Scalar Curvature Metrics on a Manifold with Boundary

Mark Walsh|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、境界をもつコンパクトで単連結なスピン多様体において、固定された境界計量と境界近傍での積構造を課したもとで、正のスカラー曲率（psc）計量の空間が、次元が3以上である境界上の手術が行われる限り、標準球面または標準ディスクのpsc計量の空間と同一の弱ホモトピー型を持つことを確立している。主な結果は、制御された計量構成を用いて、Gromov-Lawsonの手術技法を境界をもつ多様体へと拡張し、このような計量空間と標準球面上の計量空間との間で弱ホモトピー同値が成り立つことである。

ABSTRACT

We study the space of Riemannian metrics with positive scalar curvature on a compact manifold with boundary. These metrics extend a fixed boundary metric and take a product structure on a collar neighbourhood of the boundary. We show that the weak homotopy type of this space is preserved by certain surgeries on the boundary in co-dimension at least three. Thus, there is a weak homotopy equivalence between the space of such metrics on a simply connected spin manifold $W$, of dimension $n\geq 6$ and with simply connected boundary, and the corresponding space of metrics of positive scalar curvature on the standard disk $D^{n}$. Indeed, for certain boundary metrics, this space is weakly homotopy equivalent to the space of all metrics of positive scalar curvature on the standard sphere $S^{n}$. Finally, we prove analogous results for the more general space where the boundary metric is left unfixed.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクト多様体上の正のスカラー曲率（psc）計量の空間のホモトピー型を理解すること。
• Gromov-Lawson 手術技法を境界をもつ多様体へと拡張し、手術の下でも psc 計量を保存すること。
• 境界をもつ多様体上の psc 計量空間と、標準球面またはディスク上のそれらとの間で弱ホモトピー同値を確立すること。
• 固定された境界計量やコラールにおける積構造を含む境界条件の役割を分析すること。
• トーピング・メトリクスやステップ・メトリクスなどの制御された計量構成を用いて、閉多様体からの結果を境界をもつ多様体へ一般化すること。

提案手法

• 論文は、次元が3以上である手術コボルディズムのトレース上に Gromov-Lawson のトレース計量を構成し、手術の後も psc 計量を拡張する。
• コラール近傍に積計量構造を用いることで、境界条件と整合性を保証する。
• 標準的でない psc 計量との間を補間するために、「つま先（toes）」「靴下（boots）」「ステップ・メトリクス」などの制御された計量変更を分析に用いる。
• トーピング・ネック長さを1にスケーリングするための変形リトラクションを適用し、異なる標準的計量族間の弱ホモトピー同値性を示す。
• 標準的度が増加する計量空間の包含写像の可換図式を用い、すべての写像が弱ホモトピー同値であることを示す。
• 「靴下（boots）」を除去し、標準的トーピング計量を付加する写像 μ を定義し、それがホメオモルフィズムであることを示し、ホモトピー同値の転送を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界をもつ多様体上の psc 計量空間が、固定された境界計量と境界近傍での積構造を満たす場合、次元が3以上である手術が行われる限り、標準球面のそれと同一の弱ホモトピー型を持つだろうか？
• RQ2 Gromov-Lawson の構成を境界をもつ多様体へと拡張し、手術の下でも psc 計量を保存することができるだろうか？
• RQ3 単連結なスピン多様体 W が境界をもち、次元 n+1 ≥ 7 であるとき、適切な条件下で、その psc 計量空間は標準ディスク D^{n+1} や標準球面 S^n のそれと弱ホモトピー同値だろうか？
• RQ4 「つま先（toes）」「靴下（boots）」「ステップ・メトリクス」などの修正が、psc 計量空間のホモトピー型にどのように影響するだろうか？
• RQ5 標準的領域は、手術の下での psc 計量空間のホモトピー型を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 次元 n+1 ≥ 7 で境界が単連結である単連結なスピン多様体 W における psc 計量空間は、標準 n-次元球面 S^n の psc 計量空間と弱ホモトピー同値である。
• 特定の境界計量に対して、W における psc 計量空間は、標準球面 S^n の psc 計量空間と弱ホモトピー同値である。
• 固定された境界計量と積構造をもつ W における psc 計量空間は、標準ディスク D^{n+1} の psc 計量空間と弱ホモトピー同値である。
• 「靴下（boot）」または「ステップ（step）」計量構造をもつ psc 計量空間への包含写像は、弱ホモトピー同値である。
• 「靴下（boots）」を除去し、標準的トーピング計量を付加する写像 μ はホメオモルフィズムであり、ホモトピー同値の転送を可能にする。
• 計量空間の図式におけるすべての包含写像 — 「靴下」から「ステップ」、から「標準的」、から「完全な空間」へ — は弱ホモトピー同値であり、手術後の多様体 W と W' の間の psc 計量空間の最終的な弱ホモトピー同値性が確立される。