[論文レビュー] The space of rational maps on P^1

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上の次数$d$の有理写像のモジュライ空間$\mathcal{M}_d$が、$\mathbb{Z}$ 上のアフィン整数値スキームとして存在することを確立し、$\mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ およびその幾何的不変量理論による自然なコンパクト化が $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であることを証明する。結果は、$\mathbb{C}$ 上でのミルナーの結果を一般化し、$\mathbb{P}^1$ 上の力学系を研究するための基礎的算術幾何的枠組みを提供する。主な貢献は、$\mathbb{Z}$ 上のスキームとしてのモジュライ空間$\mathcal{M}_d$の構成と分類であり、特に$d=2$について明示的な計算が行われる。本稿では、有理写像上の$\mathrm{SL}_2$の共役作用を用い、幾何的不変量理論を適用して商空間を構成する。

ABSTRACT

The set of morphisms $\f:\PP^1 o\PP^1$ of degree $d$ is parametrized by an affine open subset $\Rat_d$ of $\PP^{2d+1}$. We consider the action of~$\SL_2$ on $\Rat_d$ induced by the {\it conjugation action\/} of $\SL_2$ on rational maps; that is, $f\in\SL_2$ acts on~$\f$ via $\f^f=f^{-1}\circ\f\circ f$. The quotient space $\M_d=\Rat_d/\SL_2$ arises very naturally in the study of discrete dynamical systems on~$\PP^1$. We prove that~$\M_d$ exists as an affine integral scheme over~$\ZZ$, that $\M_2$ is isomorphic to~$Å^2_\ZZ$, and that the natural completion of~$\M_2$ obtained using geometric invariant theory is isomorphic to~$\PP^2_\ZZ$. These results, which generalize results of Milnor over~$\CC$, should be useful for studying the arithmetic properties of dynamical systems.

研究の動機と目的

• 次数$d$の有理写像のモジュライ空間$\mathcal{M}_d$を$\mathbb{Z}$ 上のスキームとして構成し、$\mathbb{C}$ 上の古典的結果を一般化すること。
• $\mathcal{M}_2$ が $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であることを証明し、共役による同値類の下での次数2有理写像の空間の完全な算術的記述を与えること。
• 幾何的不変量理論による$\mathcal{M}_2$の自然なコンパクト化が $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であることを示し、完全なモジュライ的コンパクト化を提供すること。
• $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ の商が $\mathbb{Z}$ 上のアフィン整数値スキームとして存在することを確立し、$\mathbb{P}^1$ 上の力学系の算術的研究を可能にすること。

提案手法

• $\mathrm{Rat}_d$ の空間を、$\mathbb{P}^{2d+1}_{\mathbb{Z}}$ 内の結果式超曲面の補集合としてパラメトライズし、$\mathrm{Res}(F_a, F_b) \neq 0$ で定義される。
• $\mathrm{SL}_2$ の作用を共役により定義する：$\phi^f = f^{-1} \circ \phi \circ f$。これは次数を保存し、有理写像の間の同値関係を誘導する。
• 幾何的不変量理論（GIT）を用いて商$\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ を構成し、それが$\mathbb{Z}$ 上のアフィン整数値スキームとして存在することを証明する。
• $d=2$ の場合、$\mathrm{SL}_2$-作用の不変量$\sigma_1, \sigma_2$ を明示的に計算し、$\mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ を、$\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ への有理写像を介して示す。
• 離散値環の理論と特殊化を用いて、$\mathcal{M}_2^s$ から $\mathbb{P}^2$ への有理写像を、モルフィズムに拡張し、それが同型であることを証明する。
• 有限性および正規性の基準（例：[3, II.4.8(e)] および [6, I.1.10]）を適用し、整数スキーム間の有限、有理的、固有なモルフィズムが同型であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間$\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ は$\mathbb{Z}$ 上にwell-definedなスキームとして存在するか？もし存在するならば、その幾何的・算術的性質は何か？
• RQ2 $\mathcal{M}_2$ は $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であるか？ また、GITによる自然なコンパクト化は $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であるか？
• RQ3 コンパクト化されたモジュライ空間$\mathcal{M}_2^s$ から $\mathbb{P}^2$ への有理写像は、モルフィズムに拡張可能か？ そしてそれが同型であるか？
• RQ4 $\mathrm{SL}_2$-共役作用が、$\mathbb{P}^1$ 上の力学系のモジュライとどのように関係するか？

主な発見

• 次数$d$の有理写像のモジュライ空間$\mathcal{M}_d$ は、$\mathbb{Z}$ 上のアフィン整数値スキームとして存在し、商$\mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ として構成される。
• $d=2$ の場合、モジュライ空間$\mathcal{M}_2$ は $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であり、不変量$\sigma_1$ および $\sigma_2$ を用いて明示的に構成される。
• GITによる$\mathcal{M}_2$の自然なコンパクト化は $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ に同型であり、無限遠の除数を加えた完全なモジュライ空間が得られる。
• 有理写像$\sigma: \mathcal{M}_2^s \to \mathbb{P}^2$ は同型である。これは、有限、固有、準有限であり、被覆が正規で、幾何的点上で全単射であることを示すことにより証明される。
• この構成は、$\mathbb{C}$ 上のミルナーの結果を$\mathbb{Z}$ 上の算術的設定に一般化し、数論的および算術的力学系への応用を可能にする。
• 証明は、離散値環を用いた特殊化技術と、素数を法とする還元における不変量の振る舞いに依拠しており、コンパクト化の定義の正当化に寄与する。