[論文レビュー] The space of tempered distributions as a k-space

Kei Harada, Hayato Saigo|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、強い位相を備えた急速減少分布の空間 𝒮′ が k 空間であることを確立し、無限次元調和解析の統一的位相的枠組みを可能にする。k 空間構造を活用することで、特性関数を用いた確率測度の弱収束に関する重要な結果を証明し、無限次元特性関数を用いてホワイトノイズ測度に対するドンスカーの不変性原理の新しい証明を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the roles of compact sets in the space of tempered distributions $\mathscr{S}^{\prime}$. The key notion is "k-spaces", which constitute a fairly general class of topological spaces. In a k-space, the system of compact sets controls continuous functions and Borel measures. Focusing on the k-space structure of $\mathscr{S}^{\prime}$, we prove some theorems which seem to be fundamental for infinite dimensional harmonic analysis from a new and unified view point. For example, the invariance principle of Donsker for the white noise measure is shown in terms of infinite dimansional characteristic functions.

研究の動機と目的

• k 空間の位相的概念を用いて、急速減少分布の空間 𝒮′ におけるコンパクト集合の役割を調査すること。
• 𝒮′ に強い位相を備えると、k 空間であることを確立し、無限次元調和解析の統一的枠組みを可能にすること。
• k 空間構造を応用して、𝒮′ 上の確率測度の弱収束に関する基本的結果を証明すること。
• 無限次元特性関数を用いて、ホワイトノイズ測度に対するドンスカーの不変性原理を再導出すること。

提案手法

• k 空間の定義を用いる：位相空間において、ある集合が閉集合であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合との交わりが閉集合であること。
• ヒルベルト空間およびヒルベルト空間の帰納的極限（𝒮′ と同じもの）が k 空間であるという事実を応用し、𝒮′ に強い位相を導入する。
• 双対ソボレフ空間 H_{-n} から H_{-n-2} への埋め込み写像のコンパクト性を用いて、零元の近傍を構成する。
• 帰納的極限位相を用いて、集合 F ⊂ 𝒮′ が閉集合であるための必要十分条件が、任意のコンパクト集合 K ⊂ 𝒮′ に対して F ∩ K が閉集合であることであることを示す。
• プロホロフの定理および特性関数の等連続性を用いて、𝒮′ 上の測度の弱収束を特徴付ける。
• ミンロスの定理およびフィビニの定理を用いて、正定値連続関数を介して特性関数と測度を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 急速減少分布の空間 𝒮′ が強い位相のもとで k 空間であるか。その位相的構造にどのような意味があるか。
• RQ2 𝒮′ の k 空間性が、𝒮′ 上の確率測度の弱収束の新たな特徴付けをどのように可能にするか。
• RQ3 ホワイトノイズ測度に対するドンスカーの不変性原理を、無限次元設定における特性関数を用いて再導出できるか。
• RQ4 𝒮′ 上の測度のtightness（一様有界性）と特性関数のゼロにおける等連続性の関係は何か。

主な発見

• 強い位相を備えた急速減少分布の空間 𝒮′ は、ヒルベルト空間 H_{-n} の帰納的極限構造および連続埋め込みによる有界凸集合の像の閉性を用いて、k 空間であることが示された。
• 集合 F ⊂ 𝒮′ が閉集合であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合 K ⊂ 𝒮′ に対して F ∩ K がコンパクトであることである。これは k 空間性を確認するものである。
• 𝒮′ 上の確率測度の列 {μ_n} の弱収束は、すべての φ ∈ 𝒮 に対してその特性関数 {ŵ(φ)} が ŵ(φ) に点単位で収束することと同値である。
• スケーリングされた過程 X^{(n)} によって誘導される測度 P_n は、ホワイトノイズ測度に弱収束し、その特性関数は exp(−½∫φ(t)²dt) に収束する。
• 特性関数がゼロで等連続であることは、列 {μ_n} の一様tightness（一様有界性）および相対コンパクト性と同値である。
• k 空間構造および無限次元特性関数を用いて、ホワイトノイズ測度に対するドンスカーの不変性原理が再証明された。