[論文レビュー] The spaces of Laurent polynomials, $\mathbb{P}^1$-orbifolds, and integrable hierarchies

Todor Milanov, Hsian‐Hua Tseng|ArXiv.org|Jul 1, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次数 $k+m$ のローラン多項式の空間である Frobenius多様体 $M_{k,m}$ の全下降および全上位のポテンシャルが、Hirota二次方程式（HQEs）を満たすことを確立し、それらが可積分階層のタウ関数であることを特定する。また、$M_{k,m}$ が $\mathbb{Z}_k$ および $\mathbb{Z}_m$ のオーブルド点を持つ $\mathbb{P}^1$-オーブルド $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーに同型であることを証明し、Gromov-Witten理論とHQEsを通じて可積分系に結びつける。

ABSTRACT

Let $M_{k,m}$ be the space of Laurent polynomials in one variable $x^k + t_1 x^{k-1}+... t_{k+m}x^{-m},$ where $k,m\geq 1$ are fixed integers and $t_{k+m} eq 0$. According to B. Dubrovin \cite{D}, $M_{k,m}$ can be equipped with a semi-simple Frobenius structure. In this paper we prove that the corresponding descendant and ancestor potentials of $M_{k,m}$ (defined by A. Givental) satisfy Hirota quadratic equations (HQE for short). Let $\mathcal{C}_{k,m}$ be the orbifold obtained from $\mathbb{P}^1$ by cutting small discs $D_1\simeq \{|z|\leq ε\}$ and $D_2\simeq\{|z^{-1}|\leq ε\}$ around $z=0$ and $z=\infty$ and gluing back the orbifolds $D_1/\mathbb{Z}_k$ and $D_2/\mathbb{Z}_m$ in the obvious way. We show that the orbifold quantum cohomology of $\mathcal{C}_{k,m}$ coincides with $M_{k,m}$ as Frobenius manifolds. Modulo some yet-to-be-clarified details, this implies that the descendant (respectively the ancestor) potential of $M_{k,m}$ is a generating function for the descendant (respectively ancestor) orbifold Gromov--Witten invariants of $\mathcal{C}_{k,m}$. There is a certain similarity between our HQE and the Lax operators of the Extended bi-graded Toda hierarchy, introduced by G. Carlet in \cite{car}. Therefore, it is plausible that our HQE characterize the tau-functions of this hierarchy and we expect that the Extended bi-graded Toda hierarchy governs the Gromov--Witten theory of $\mathcal{C}_{k,m}.$

研究の動機と目的

• Frobenius多様体 $M_{k,m}$ の全下降および全上位ポテンシャルがHirota二次方程式（HQEs）を満たすことを確立すること。
• $M_{k,m}$、すなわちローラン多項式の空間が、$\mathbb{Z}_k$ および $\mathbb{Z}_m$ のオーブルド点を持つ $\mathbb{P}^1$-オーブルド $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーに同型であることを証明すること。
• $M_{k,m}$ におけるHQEsが拡張バイグレードToda階層と関連していることを示し、この階層が $\mathcal{C}_{k,m}$ のGromov-Witten理論を支配すると示唆すること。

提案手法

• 著者たちは、Frobenius多様体 $M_{k,m}$ に関連するフォック空間 $B$ において、Giventalの形式主義を用いて全下降および全上位ポテンシャルを定義する。
• 振動積分および頂点演算子技術を用いて、これらのポテンシャルのフーリエ係数が満たす無限個のHirota二次方程式（HQEs）を導出する。
• Dubrovinの半単純Frobenius多様体理論を用いて、ローラン多項式上の留数ペアリングにより定義される計量および積を介して、$M_{k,m}$ 上のFrobenius構造を構成する。
• $\mathcal{C}_{k,m}$ は、$0$ および $\infty$ の周囲のディスクを除き、$D_1/\mathbb{Z}_k$ および $D_2/\mathbb{Z}_m$ を貼り合わせることで構成され、ミラー対称性およびGiventalの再構成を用いてその量子コホノロジーを計算する。
• $M_{k,m}$ と $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーの同型は、計量、積、平坦座標を含むFrobenius多様体構造の一致により確立される。
• HQEsとその階層のLax作用素との構造的類似性により、拡張バイグレードToda階層への関連が示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius多様体 $M_{k,m}$ の全下降および全上位ポテンシャルは、Hirota二次方程式（HQEs）を満たすか？
• RQ2 $M_{k,m}$、Frobenius多様体は、$\mathbb{Z}_k$ および $\mathbb{Z}_m$ のオーブルド点を持つ $\mathbb{P}^1$-オーブルド $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーに同型か？
• RQ3 $M_{k,m}$ に対して導出されたHQEsは、拡張バイグレードToda階層のタウ関数を特徴付けるものと解釈できるか？
• RQ4 Giventalの予想に従い、$M_{k,m}$ のGivental上位ポテンシャルは、$\mathcal{C}_{k,m}$ の上位Gromov-Witten不変量の生成関数であると予想されるか？
• RQ5 $M_{k,m}$ 上のHQEsと拡張バイグレードToda階層のLax作用素との間に構造的対応があるか？

主な発見

• 全下降および全上位ポテンシャル $M_{k,m}$ は、無限個のHirota二次方程式（HQEs）を満たし、それらはポテンシャルのフーリエ係数間の二次関係である。
• $M_{k,m}$ は、$t_{k+m} \neq 0$ を満たすローラン多項式 $x^k + t_1x^{k-1} + \cdots + t_{k+m}x^{-m}$ の空間として定義され、$\mathbb{Z}_k$ および $\mathbb{Z}_m$ のオーブルド点を持つ $\mathbb{P}^1$-オーブルド $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーに同型である。
• $M_{k,m}$ におけるHQEsは、拡張バイグレードToda階層のLax作用素と構造的に類似しており、この階層が $\mathcal{C}_{k,m}$ のGromov-Witten理論を支配すると示唆される。
• $M_{k,m}$ の上位ポテンシャルは、技術的細部を除き、$\mathcal{C}_{k,m}$ の上位Gromov-Witten不変量の生成関数であると予想される。
• $M_{k,m}$ と $\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーの同型は、計量、積、平坦座標を含むFrobenius多様体構造の一致により確立される。
• 既知の可積分階層のタウ関数であるポテンシャルを持つFrobenius多様体のリストは、$\mathcal{C}_{k,m}$ のオーブルド量子コホノロジーの追加により拡張される。