[論文レビュー] The Sparse Awakens: Streaming Algorithms for Matching Size Estimation in Sparse Graphs

Graham Cormode, Hossein Jowhari+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有界な木構造性を持つスパースグラフにおける最大マッチングのサイズを推定するための改善されたストリーミングアルゴリズムを提示する。エッジの順序付けと次数分布を活用する新しい特徴付けを導入し、挿入のみのストリームでは O(c log² n) の空間を、動的ストリームでは ˜O(c¹⁰ᐟ³n²ᐟ³) の空間を達成する。これは、前人研究よりも顕著に改善されており、O(c)-近似保証を維持している。

ABSTRACT

Estimating the size of the maximum matching is a canonical problem in graph algorithms, and one that has attracted extensive study over a range of different computational models. We present improved streaming algorithms for approximating the size of maximum matching with sparse (bounded arboricity) graphs. * Insert-Only Streams: We present a one-pass algorithm that takes O(c log^2 n) space and approximates the size of the maximum matching in graphs with arboricity c within a factor of O(c). This improves significantly on the state-of-the-art O~(cn^{2/3})-space streaming algorithms. * Dynamic Streams: Given a dynamic graph stream (i.e., inserts and deletes) of edges of an underlying c-bounded arboricity graph, we present a one-pass algorithm that uses space O~(c^{10/3}n^{2/3}) and returns an O(c)-estimator for the size of the maximum matching. This algorithm improves the state-of-the-art O~(cn^{4/5})-space algorithms, where the O~(.) notation hides logarithmic in $n$ dependencies. In contrast to the previous works, our results take more advantage of the streaming access to the input and characterize the matching size based on the ordering of the edges in the stream in addition to the degree distributions and structural properties of the sparse graphs.

研究の動機と目的

• 有界な木構造性を持つグラフにおける最大マッチングサイズ推定のための空間効率の良いストリーミングアルゴリズムの設計。
• 敵対的順序ストリームにおいて Ω(n²ᐟ³) の空間を要する前人研究の限界を克服すること。
• エッジの挿入と削除を伴う動的ストリームに、削除回数が有界な条件下で結果を拡張すること。
• より良い空間境界を得るため、エッジの順序付けと次数構造を活用する特徴付けの開発。
• 挿入のみのストリームにおいて、多対数空間複雑度を達成し、従来の非線形境界を改善すること。

提案手法

• 誘導部分グラフにおける高次度頂点と非孤立な低次度頂点を用いた最大マッチングサイズの新しい特徴付けを提案。
• 頂点の確率的サンプリングと隣接頂点カウンタの維持を用いて、非孤立な低次度頂点の数を推定。
• 部分空間のエッジ数を近似するために、適応的閾値を用いた多段階サンプリング戦略を導入。
• 確率的境界を用いて誤検出を制御し、マッチングサイズに寄与する可能性の高いエッジを特定する α-良いテストを採用。
• 複数のサンプリングレートを用いた並列ストリーミングフレームワークを設計し、多対数空間内で高確率近似を達成。
• 更新処理において次数カウンタを維持し、削除回数を制限することで、動的ストリームにアルゴリズムを適応化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 敵対的順序ストリームにおいて、有界な木構造性を持つグラフのストリーミングマッチングサイズ推定の空間複雑度を O(n²ᐟ³) 未満に低下させることは可能か？
• RQ2 エッジの削除を伴う動的ストリーミングアルゴリズムは、O(c)-近似を達成しつつ、非線形空間を実現できるか？
• RQ3 エッジの順序付けと次数構造をどのように活用することで、より空間効率の良いストリーミングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 挿入のみのストリームにおいて、定数因子近似を維持しつつ、多対数空間を達成することは可能か？
• RQ5 どのような新しいグラフ特徴付けが、ストリーミング環境でのタイトな空間境界を可能にするか？

主な発見

• 挿入のみのストリームでは O(c log² n) の空間を O(c)-近似で達成し、従来の ˜O(cn²ᐟ³) の境界を改善した。
• O(cn) 回のエッジ削除を伴う動的ストリームでは、アルゴリズムは ˜O(c¹⁰ᐟ³n²ᐟ³) の空間を用い、O(c)-近似を提供する。
• 高次度頂点と非孤立な低次度頂点を用いた提案された特徴付けにより、直接的なエッジサンプリングを回避することで空間の削減が可能になった。
• 適応的閾値を用いた多段階サンプリングアルゴリズムにより、挿入のみのストリームで多対数空間内に (1+ε)-近似が達成された。
• O(c/ε² log(1/ε) log cn log n) の空間を用いて、誤差確率が 1−δ 未満である高精度を維持した。
• 理論的解析により、誤差の確率が境界付けられており、与えられた仮定下での空間複雑度がタイトであることが確認された。