[論文レビュー] The Sparsest Additive Spanner via Multiple Weighted BFS Trees

Keren Censor-Hillel, Ami Paz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、複数の重み付きBFS木を用いて、Õ(n⁴/³)本の辺を有する(+6)-additive spannerを構築する新しい逐次的アルゴリズムを提示する。これは、非多項式的要因を除けば最もスパarsな構成である。さらに、CONGESTモデルにおける分散実装を設計し、|S| + D − 1ラウンドでこれらの木を構築することで、最適な(+6)-spannerの最初の効率的分散構成を実現する。

ABSTRACT

Spanners are fundamental graph structures that sparsify graphs at the cost of small stretch. In particular, in recent years, many sequential algorithms constructing additive all-pairs spanners were designed, providing very sparse small-stretch subgraphs. Remarkably, it was then shown that the known (+6)-spanner constructions are essentially the sparsest possible, that is, larger additive stretch cannot guarantee a sparser spanner, which brought the stretch-sparsity trade-off to its limit. Distributed constructions of spanners are also abundant. However, for additive spanners, while there were algorithms constructing (+2) and (+4)-all-pairs spanners, the sparsest case of (+6)-spanners remained elusive. We remedy this by designing a new sequential algorithm for constructing a (+6)-spanner with the essentially-optimal sparsity of O~(n^{4/3}) edges. We then show a distributed implementation of our algorithm, answering an open problem in [Keren Censor{-}Hillel et al., 2016]. A main ingredient in our distributed algorithm is an efficient construction of multiple weighted BFS trees. A weighted BFS tree is a BFS tree in a weighted graph, that consists of the lightest among all shortest paths from the root to each node. We present a distributed algorithm in the CONGEST model, that constructs multiple weighted BFS trees in |S|+D-1 rounds, where S is the set of sources and D is the diameter of the network graph.

研究の動機と目的

• スパースな加法的spanner、特に(+6)-spannerの分散アルゴリズムにおけるギャップを埋める。
• 理論的に最適なスパarsity Õ(n⁴/³)本の辺を達成する分散アルゴリズムを開発する。
• CONGESTモデルにおいて、最小限のラウンド複雑性で複数の重み付きBFS木を効率的に構築するという未解決問題を解く。
• 確率的エッジ重み付けと軽量最短経路を用いて、無重みグラフにおける一貫した最短経路選択を可能にする。

提案手法

• クラスタリングと経路購入フェーズを用いて、Õ(n⁴/³)本の辺を有する(+6)-spannerを構築する新しい逐次的アルゴリズムを提案する。
• 複数の重み付きBFS（WBFS）木の分散的構成を導入し、各木が各ノードへのすべての最短経路の中で軽量なものを含むようにする。
• エッジ重み付けを用いて所望のエッジを識別し、孤立性補題により、ランダムな多項式的重みを割り当てることで、高確率で一意な軽量最短経路が得られることを保証する。
• ノードが確率 c/(n¹/³ log¹/³ n) でクラスタ中心となるクラスタリングフェーズを実行し、その後、WBFS木を用いて欠落エッジを最小化する経路購入フェーズを実施する。
• 「購入」フェーズを実装し、メッセージをWBFS木の逆順に伝搬させることで、混雑を避ける。これにより、O(|S| + D)ラウンドの複雑性が保証される。
• 各クラスタ中心が、欠落エッジの数に基づいて独立に他の中心への経路を「購入」する確率的戦略を採用し、スパarsityとストレッチの保証を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおいて、近似的に最適なスパarsity Õ(n⁴/³)本の辺を有する(+6)-spannerを分散アルゴリズムが構築可能か？
• RQ2 エッジ重みの影響を最小限に抑えて、O(|S| + D)ラウンドで複数の重み付きBFS木を構築することは可能か？
• RQ3 無重みグラフにおいて、重み付きBFS木を用いて高確率で一貫した最短経路を計算する方法は何か？
• RQ4 通信量を最小限に抑えた分散環境下で、最適な(+6)-spannerを構築する際のラウンド複雑性は何か？
• RQ5 重み付きBFS木による軽量最短経路の構築は、より広範な分散グラフ問題の解決に応用可能か？

主な発見

• 本稿は、スパarsity Õ(n⁴/³)本の辺を有する(+6)-spannerの最初の分散構成を達成し、スパarsityに関する既知の逐次的下界と一致する。
• 分散WBFS木の構成は|S| + D − 1ラウンドで完了し、これは漸近的に最適であり、エッジ重みの影響による追加オーバーヘッドがない。
• 高確率でクラスタ中心の数はO(n²/³ / log¹/³ n)に抑えられ、これによりspannerのスパarsityが保たれる。
• 経路購入フェーズでは、ストレッチが最大+6に抑えられつつエッジ追加を最小化する確率的選択戦略が用いられる。
• アルゴリズムは、最終的なspannerが高確率でO(n⁴/³)本の辺を有することを保証し、O(n²/³ / log¹/³ n + D)ラウンドで実行される。
• ランダムな多項式的重みを割り当て、軽量最短経路を使用することで、無重みグラフにおける一貫した最短経路選択が可能となり、spanner構築以外の応用にも有用である可能性がある。