[論文レビュー] The spatially inhomogeneous Hopf bifurcation induced by memory delay in a memory-based diffusion system

Yongli Song, Yahong Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形記憶型拡散項に遅れが含まれる反応拡散系における、遅れ誘発型空間的に非一様なホップ分岐を解析するための新規な正規形アルゴリズムを開発する。この手法により、モード1およびモード2のホップ分岐の方向性と安定性を特定可能となり、数値結果により、安定な空間的に非一様な周期的解が存在することを確認した。特に、不安定なモード2から安定なモード1パターンへの遷移が観察された。

ABSTRACT

The memory-based diffusion systems have wide applications in practice. Hopf bifurcations are observed from such systems. To meet the demand for computing the normal forms of the Hopf bifurcations of such systems, we develop an effective new algorithm where the memory delay is treated as the perturbation parameter. To illustrate the effectiveness of the algorithm, we consider a diffusive predator-prey system with memory-based diffusion and Holling type-II functional response. By employing this newly developed procedure, we investigate the direction and stability of the delay-induced mode-1 and mode-2 Hopf bifurcations. Numerical simulations confirm our theoretical findings, that is the existence of stable spatially inhomogeneous periodic solutions with mode-1 and mode-2 spatial patterns, and the transition from the unstable mode-2 spatially inhomogeneous periodic solution to the stable mode-1 spatially inhomogeneous periodic solution.

研究の動機と目的

• 反応拡散系に非線形記憶型拡散項と拡散項における遅れを含む場合の正規形計算手法の不足に対処すること。
• 記憶遅れによって誘発される空間的に非一様なホップ分岐を体系的に解析可能なアルゴリズムの開発。
• ホーリング型II機能反応と記憶型拡散を有する拡散型捕食者-被捕食者モデルへのアルゴリズムの適用。
• 遅れ誘発型モード1およびモード2ホップ分岐の方向性と安定性の特定。
• 空間的に非一様な周期的解の存在およびそれらの間の遷移に関する理論的予測の数値的妥当性の検証。

提案手法

• 著者らは、既存の正規形アルゴリズムを非線形拡散項および拡散部における遅れを扱えるように一般化し、記憶遅れτを摂動パラメータとして扱う。
• 正の平衡点における特徴方程式を導出し、モード1およびモード2分岐の臨界遅れ値τ₁,₀ ≈ 5.1033およびτ₂,₀ ≈ 1.8398を計算する。
• 非線形性および拡散項における遅れに適応した体系的な手順に従い、中心多様体および正規形係数K₁およびK₂を計算する。
• ホップ分岐の方向性と安定性は、K₁およびK₂の符号によって決定され、K₁ > 0およびK₂ < 0は上昇的かつ安定な分岐を示す。
• スパティオトロピカルダイナミクスを可視化し、理論的予測を検証するために、特定のパラメータを用いた完全系における数値シミュレーションを実施する。
• アルゴリズムは、d₂₁およびτを変化させることで分岐曲線およびパターン遷移を探索可能な、記憶型拡散を有する捕食者-被捕食者モデルに適用された。

Figure 1: Stability region and Hopf bifurcation curves in $d_{21}-\tau$ plane. The dotted region is the stability region and $\tau=\tau_{k,0},k=1,2,3$ , are Hopf bifurcation curves. Hopf bifurcation curves $\tau=\tau_{1,0}$ and $\tau=\tau_{2,0}$ intersect at the point $P(4.1354,4.0292)$ . The points

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反応拡散系に非線形記憶型拡散項を有する場合、記憶遅れによって誘発されるホップ分岐の正規形はどのように計算可能か？
• RQ2 このような系において、遅れ誘発型モード1およびモード2の空間的に非一様なホップ分岐の方向性と安定性は、何によって決定されるか？
• RQ3 異なる空間的パターン（モード1およびモード2）を有する安定な空間的に非一様な周期的解が、解析的および数値的に確認可能か？
• RQ4 遅れτが臨界値を超えて増加する際、異なる空間的パターン間でどのような動的遷移が生じるか？
• RQ5 モード1およびモード2ホップ分岐の相互作用は、パターン遷移や準周期的挙動といった複雑なダイナミクスをどのように引き起こすか？

主な発見

• τ₁,₀ ≈ 5.1033におけるモード1空間的に非一様なホップ分岐は上昇的かつ安定であり、K₁ ≈ 0.0597 > 0およびK₂ ≈ -1.5624 < 0を示す。
• τ₂,₀ ≈ 1.8398におけるモード2空間的に非一様なホップ分岐も上昇的かつ安定であり、K₁ ≈ 0.1733 > 0およびK₂ ≈ -2.2283 < 0を示す。
• 数値的シミュレーションにより、τ > τ₁,₀およびτ > τ₂,₀のとき、それぞれモード1およびモード2の空間的パターンを有する安定な空間的に非一様な周期的解が存在することが確認された。
• τ ≈ 5.2およびd₂₁ ≈ 4.3のとき、数値的に不安定なモード2から安定なモード1空間的に非一様な周期的解への遷移が観察された。
• モード2からモード1への遷移過程で一時的に不安定な準周期的パターンが観察され、二重ホップ点付近での複雑なダイナミクスを示唆した。
• モード1およびモード2ホップ分岐の相互作用により、パターン遷移や2次元または3次元の不変トーラスの潜在的出現を伴う豊かなダイナミクスが生じた。

Figure 4: The spatial-temporal dynamics of system ( 3.1 ) with the parameters $a=1,~{}b=\frac{3}{10},~{}c=\frac{1}{10},~{}d_{11}=\frac{6}{10},~{}d_{22}=\frac{8}{10},~{}\ell=2$ and $\left(d_{21},\tau\right)$ being the point $P_{4}(4.3,5.2)$ of Fig. 1 far from the Hopf bifurcation curves. Pattern tran