[論文レビュー] The specification property on a set-valued map and its inverse limit

Brian Raines, Tim Tennant|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな距離空間上の集合値写像へ、仕様性質と位相的エントロピーを拡張し、それらの力学的意味を確立する。仕様性質が位相的混合性と正のエントロピーを意味することを証明し、集合値写像が仕様性質を満たすならば、その逆極限空間上の関連するシフト写像もまた仕様性質を満たすことを示し、不変測度および全符号測度への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we consider dynamical properties of set-valued mappings and their implications on the associated inverse limit space. Specifically, we define the specification property and topological entropy for set-valued functions and prove some elementary results of these properties. We end with a few results regarding invariant measures for set-valued functions and their associated inverse limits.

研究の動機と目的

• 単値写像から集合値力学系へ、仕様性質と位相的エントロピーを一般化すること。
• 集合値写像の文脈において、仕様性質と位相的混合性の関係を調査すること。
• 集合値写像によって誘導される逆極限空間上のシフト写像の力学を研究すること。
• 集合値関数の不変測度の構造とその符号特性を分析すること。
• 特に周期点が稠密である場合に、不変測度が全符号を有する条件を確立すること。

提案手法

• 有限な軌道セグメントの均一なシャドーイングと均一なギャップ制御を用いて、集合値写像の仕様性質を定義する。
• 長さnの部分軌道をε-被覆集合の下で数えることにより、集合値写像の位相的エントロピーを定義する。
• 逆極限空間を、すべての列(x₀, x₁, ...)の集合として構成する。ここでxᵢ₊₁ ∈ F(xᵢ)であり、積位相を備える。
• シフト写像σを、σ(x₀, x₁, ...) = (x₁, x₂, ...)により定義する。これは連続であり、Fの力学を模倣する。
• 完全な軌道CO(x)とCO(F)の概念を用いて、集合値写像のグローバルな力学を特徴付ける。
• Fが仕様性質を満たすならば、逆極限空間上のシフト写像σもまた仕様性質を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合値写像Fの仕様性質は、位相的混合性および正の位相的エントロピーを意味するか？
• RQ2 シャドーイングの概念を集合値写像へ意味的に拡張できるか。また、それと仕様性質との関係はいかなるものか？
• RQ3 集合値写像が、その逆極限空間上のシフト写像が仕様性質を引き継ぐ条件は何か？
• RQ4 集合値写像の不変測度の空間の構造は何か。また、いつ全符号を有するか？
• RQ5 定義域における周期点の稠密性は、全符号を有する不変測度の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 集合値写像Fの仕様性質は、Fが位相的混合的であり、正の位相的エントロピーを持つことを意味する。
• 集合値写像Fがシャドーイング性を有し、周期点が稠密であるならば、Fは弱い形の仕様性質を満たす。
• Fが仕様性質を満たすならば、逆極限空間lim←F上のシフト写像σもまた仕様性質を満たす。
• F不変測度のうち、全符号を有するものの集合は、すべてのF不変測度の空間において稠密Gδ集合である。
• 周期点の集合がXにおいて稠密であるとき、Fの不変測度のうち、全符号を有するものの集合は稠密Gδ集合である。
• 周期軌道に台を持つディラック測度の重み付き和として、明示的な全符号を有する不変測度μを構成できる。ただし、そのような周期軌道が稠密であることが条件である。