[論文レビュー] The Spectral Asymptotics of the Two-Dimensional Schrödinger operator with a Strong Magnetic Field

J. Bruening, S. Yu. Dobrokhotov+1 more|ArXiv.org|Nov 3, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 52被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、古典的平均化および半古典的手法を用いて、強い一様磁場および周期的電場を有する2次元シュレーディンガー作用素のスペクトル漸近挙動を導出する。2次元古典的可積分系をトーラス上の1次元問題に還元し、モース理論とボーア＝ソルマーfeld則を適用することで、古典的運動の位相的分類と、ランドウ準位内の準位バンド数を含む、量子スピンの精密な漸近的記述が得られる。

ABSTRACT

We consider the spectral problem for the two-dimensional Schrödinger operator for a charged particle in strong uniform magnetic and periodic electric fields. The related classical problem is analyzed first by means of the Krylov-Bogoljubov-Alfven and Neishtadt averaging methods. It allows us to show ``almost integrability'' of the the original two-dimensional classical Hamilton system, and to reduce it to a one-dimensional one on the phase space which is a two-dimensional torus. Using the topological methods for integrable Hamiltonian system and elementary facts from the Morse theory, we give a general classification of the classical motion. According this classification the classical motion is separated into different regimes with different topological characteristics (like rotation numbers and Maslov indices). Using these regimes, the semiclassical approximation, the Bohr-Sommerfeld rule and the correspondence principle, we give a general asymptotic description of the (band) spectrum of the original Schrödinger operator and, in particular, estimation for the number of subbands in each Landau band. From this point of view the regimes, are the classical preimages of ``spectral series'' of the Schrödinger operator. We also discuss the relationship between this spectrum and the spectrum of one-dimensional difference operators.

研究の動機と目的

• 強い磁場および周期的電場下における2次元シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• 回転数やマスロフ指数などの位相的不変量を用いて、古典的運動の状態を分類すること。
• 特に各ランドウ準位内の準位バンド数を含め、量子スピンの半古典的漸近的記述を導出すること。
• 古典的運動の状態と量子問題におけるスペクトル系列の対応関係を確立すること。
• 漸近的解析を通じて、2次元シュレーディンガー作用素のスペクトルを1次元差分作用素に関連付けること。

提案手法

• Krylov-Bogoljubov-AlfvenおよびNeishtadt平均化法を適用し、古典的ハミルトニアン系の「ほぼ可積分性」を示すこと。
• 平均化を用いて2次元古典的系を2次元トーラス上の有効な1次元系に還元すること。
• 位相的手法およびモース理論を用いて、異なる位相的不変量を持つ、明確に分離された古典的運動の状態に分類すること。
• ボーア＝ソルマーfeldの量子化則と対応原理を用いて、量子スペクトルの漸近的記述を導出すること。
• 準モードを構成し、ユニタリ変換を用いて摂動論を通じて局所的スペクトル推定を全スペクトルに結びつけること。
• 周期的領域上の関数族を用いてスペクトルを分析し、打ち切り技術を適用してスペクトル距離における誤差項を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い磁場および周期的電場下における荷電粒子の古典的運動は、位相的に異なる状態にどのように分解されるか？
• RQ2 プランク定数が小さく、電場結合が小さい極限におけるシュレーディンガー作用素のスペクトルの漸近的構造は何か？
• RQ3 古典的運動の状態は、量子問題におけるスペクトル系列とどのように対応するか？
• RQ4 漸近的状態において、各ランドウ準位内の準位バンド数はどのように決定されるか？
• RQ5 2次元シュレーディンガー作用素のスペクトルは、1次元差分作用素とどのように関係するか？

主な発見

• 平均化系における不変トーラスの構造に起因して、回転数やマスロフ指数などの位相的不変量に基づき、古典的運動が明確に分離された状態に分類される。
• ボーア＝ソルマーfeld則と対応原理を用いて、シュレーディンガー作用素のスペクトル漸近挙動が導出され、バンドスペクトルの精密な記述が得られる。
• 各ランドウ準位内の準位バンド数は、古典的運動の状態に漸近的に依存し、不変多様体の位相的構造と関連づけられる。
• 準モードの漸近的解析を通じて、2次元シュレーディンガー作用素のスペクトルが1次元差分作用素のスペクトルと関連づけられることが示される。
• 候補となるエネルギー準位から真のスペクトルまでの距離が $ O(h^L + \varepsilon^K) $ で有界であることが示され、構築された準モードが近似的な固有関数として有効であることが確認される。
• 平均化ハミルトニアン系における非ラグランジュ的だが等方的不変多様体が同定され、それらに関連するスペクトル系列が高度な摂動技法を用いて構成可能であることが示される。