[論文レビュー] The spectral density function of a toric variety

D. Burns, Victor Guillemin+1 more|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、デルツァント多面体上のオイラー＝マクローリン公式を用いて、トーリック多様体上の正則セクションのスペクトル密度測度の正確な漸近展開を導出する。$L^2$-ノルムの固有セクションがトーラス重みに関連して、モーメント多面体上にデルタ関数に類似した測度に収束し、明示的な $1/N^j$ の補正項を伴う。また、固有基底がこの設定において正確な漸近的性質を持つボアール＝ゾンマーフェルト基底を形成することを確立する。

ABSTRACT

For a Kahler manifold (X, ω) with a holomorphic line bundle L and metric h such that the Chern form of L is ω, the spectral measures are the measures μ_N = \sum |s_{N,i}|^2 ν, where \{s_{N,i}\}_i is an L^2-orthonormal basis for H^0(X, L^{\otimes N}), and νis Liouville measure. We study the asymptotics in N of μ_N for (X, L) a Hamiltonian toric manifold, and give a precise expansion in terms of powers 1/N^j and data on the moment polytope Δof the Hamiltonian torus K acting on X. In addition, for an infinitesimal character k of K and the unique unit eigensection s_{Nk} for the character Nk of the torus action on H^0(X, L^N), we give a similar expansion for the measures μ_{Nk} = |s_{Nk}|^2 ν. A final remark shows that the eigenbasis \{s_{k}, k \in Δ\cap \mathbb{Z}^{\dim K} \} is a Bohr-Sommerfeld basis in the sense of Tyurin. Some of the present results are related to work of Shiffman, Tate and Zelditch. The present paper uses no microlocal analysis, but rather an Euler-Maclaurin formula for Delzant polytopes.

研究の動機と目的

• トーリックケーラー多様体上で $N \to \infty$ のときのスペクトル測度 $\mu_N = \sum |s_{N,i}|^2 \nu$ の漸近的挙動を理解すること。
• モーメント多面体 $\Delta$ のデータを用いて、これらの測度の $1/N^j$ のべき級数展開を導出すること。
• トーラス重み $k$ に関連する個々の固有セクション $s_{Nk}$ の漸近的挙動を分析すること。特に $\mu_{Nk} = |s_{Nk}|^2 \nu$ に注目する。
• 固有基底 $\{s_k\}_{k \in \Delta \cap \mathbb{Z}^n}$ がボアール＝ゾンマーフェルト基底を形成することを示し、この設定において漸近的結果が正確であることを確立すること。

提案手法

• デルツァント多面体上のオイラー＝マクローリン公式を用いて、正則セクションの $L^2$-ノルムのリーマン和を分析する。
• $H^0(X, L^{igotimes N})$ を $N\Delta$ 内の格子点によってインデックス付けられた重み空間に分解し、正規直交基底 $\{s_{N,i}\}$ をとる。
• 前量子化円バンドル $P$ 内の $K$-軌道 $\phi^{-1}(k)$ の水平上昇 $Y_k \subset P$ を構成する。
• リー微分と接続構造を適用して、$s_k^\flat$ が $Y_k$ 上で定数であり、かつ $\Pi_1(\delta_{Y_k})$ が $s_k$ の非ゼロ定数倍であることを示す。
• シュレーディンガー核の微局的構造と $[\mathcal{L}_{\xi_A^\sharp}, \Pi] = 0$ である事実を用いて、スペクトル測度を幾何的データに関連付ける。
• スペクトル測度 $\mu_{Nk}$ と $Y_k$ 上のデルタ関数との間の対応を確立し、正確な漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体上で $N \to \infty$ のとき、スペクトル測度 $\mu_N = \sum |s_{N,i}|^2 \nu$ の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 モーメント多面体 $\Delta$ を用いて、$\mu_N$ の漸近的挙動を $1/N^j$ のべき級数として表現できるか？
• RQ3 重み $k$ が $\mathfrak{k}^*$ 内の直線に沿って無限大に近づくとき、個々の固有セクション $s_{Nk}$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 固有基底 $\{s_k\}_{k \in \Delta \cap \mathbb{Z}^n}$ は [9] の意味でボアール＝ゾンマーフェルト基底であるか？
• RQ5 文献 [1] の漸近的結果が、トーリック設定においてどの程度正確に成立するか？

主な発見

• スペクトル測度 $\mu_N$ は $N$ の逆数の累乗における完全な漸近展開を有し、その係数はモーメント多面体 $\Delta$ の幾何的性質によって決定される。
• 各重み $k \in \Delta \cap \mathbb{Z}^n}$ に対して、測度 $\mu_{Nk} = |s_{Nk}|^2 \nu$ は $K$-軌道 $\phi^{-1}(k)$ 上に台を持つデルタ測度に収束し、明示的な $1/N^j$ の補正項を伴う。
• 固有基底 $\{s_k\}_{k \in \Delta \cap \mathbb{Z}^n}$ はボアール＝ゾンマーフェルト基底である。これは、セクションが前量子化 bundle 内のラグランジュトーラスに集中していることを意味する。
• 文献 [1] の漸近的結果は、デルツァント多面体上のオイラー＝マクローリン公式の正確性のおかげで、トーリックの場合に正確に成立する。
• $\Pi_1(\delta_{Y_k})$ がセクション $s_k$ の非ゼロ定数倍であることは、幾何的対応関係を確立する。
• $|s_k|^2$ は $\phi^{-1}(k)$ 上で最大値をとり、水平上昇 $Y_k$ 上で定数であるため、軌道上への集中が確認される。