[論文レビュー] The Spectral Density of the Dirac Operator above T_c

Thomas D. Cohen|ArXiv.org|Jan 28, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、手術的転移温度 $T_c$ 以上の量子色力学におけるディラック作用素のスペクトル密度を調査し、質量ゼロのクォーク極限において、状態密度がゼロの有効スピンより速く消失することを示している（$\rho(\lambda) \sim |\lambda|^\alpha$ で $\alpha > 1$）。著者は、この制約を満たさないラティス計算はおそらく大きな系統的誤差を含む可能性があると主張し、クォーク線の連結および非連結寄与が正確にキャンセルされない限り、$T_c$ より上ではディラックスペクトルにギャップが現れないことを示している。

ABSTRACT

The importance of the spectral density of the Dirac operator in studying spontaneous chiral symmetry breaking and anomalous U(1) axial symmetry breaking are reviewed. It is shown that both types of symmetry breaking can be traced to effects of modes near zero virtuality. Above T_c, where chiral symmetry is restored, it is shown on general grounds that (in the massless quark limit), the density of states vanishes at zero virtuality faster than $λ$, where $λ$ is the virtuality-- $ρ(λ) \sim |λ|^α$ is not possible for $α\le 1$. Isospin invariance is used to show that $ρ(λ) \sim m_q^{1-α} |λ|^α$ is also not possible for $α\le 1$. State-of-the-art lattice calculations are reviewed in light of these constraints. In particular, it is argued that violations of these constraints by lattice calculations indicate possible large systematic errors; this raises questions about $U(1)_A$ violating effects seen on the lattice.It is also shown that above $T_c$, the Dirac spectrum has a gap near zero (in the $m_q o 0$ limit) unless contributions from quark-line-connected and disconnected contributions conspire to cancel.

研究の動機と目的

• ディラック作用素のスペクトル密度が手術的対称性の破れおよび異常な $U(1)_A$ 対称性の破れに果たす役割を明確化すること。
• $T_c$ より上でのゼロ有効スピン $\lambda$ 近傍におけるスペクトル密度 $\rho(\lambda)$ の挙動に関する一般的制約を確立すること。
• これらの理論的制約を踏まえた上で、ラティスQCDによるスペクトル密度の計算の信頼性を評価すること。
• クォーク線の寄与の微調整なしに、$T_c$ より上でのディラックスペクトルにギャップが現える条件を検討すること。
• ラティスデータで観測された $U(1)_A$ 違反効果が、理論的期待と整合しているかどうかを評価すること。

提案手法

• 質量ゼロクォーク極限における $\lambda = 0$ 近傍でのスペクトル密度 $\rho(\lambda)$ の関数的形を制約する一般的場の理論的議論を用いる。
• アイソスピン対称性を適用して、$\alpha \leq 1$ の場合に $\rho(\lambda) \sim m_q^{1-\alpha} |\lambda|^\alpha$ のようなべき則的挙動を排除する。
• スペクトルギャップが生じるための条件を特定するために、スペクトル密度へのクォーク線の連結および非連結寄与の相互作用を分析する。
• 得られた制約を踏まえて、最新のラティスQCD計算をレビューする。
• 理論的予測とラティスデータを比較し、潜在的な系統的誤差を特定する。
• $m_q \to 0$ 限界を用いて、ギャップが出現するための非連結および連結寄与のキャンセルの必要性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロクォーク極限における $T_c$ より上での $\lambda = 0$ 近傍におけるディラック作用素のスペクトル密度 $\rho(\lambda)$ がとらねばならない関数的形は何か？
• RQ2 $\alpha \leq 1$ の場合に $\rho(\lambda) \sim |\lambda|^\alpha$ が、一般的場の理論的原則のもとでQCDにおいて $T_c$ より上に実現可能か？
• RQ3 ラティスQCDによるスペクトル密度の計算が、これらの理論的制約をどの程度逸脱しているか、そしてそれが系統的誤差を示唆するのか？
• RQ4 どの条件下で $T_c$ より上でのゼロ有効スピン近傍にスペクトルギャップが現えるか？
• RQ5 本研究で導かれた理論的制約と整合するか、ラティスデータで観測された $U(1)_A$ 違反効果は何か？

主な発見

• 質量ゼロクォーク極限において、$T_c$ より上では、状態密度がゼロの有効スピンで $\lambda$ より速く消失しなければならず、$\alpha \leq 1$ の $\rho(\lambda) \sim |\lambda|^\alpha$ は排除される。
• アイソスピン対称性により、さらに $\alpha \leq 1$ の場合に $\rho(\lambda) \sim m_q^{1-\alpha} |\lambda|^\alpha$ が禁止され、スペクトル密度の挙動に関する制約が強化される。
• これらの制約を満たさないラティス計算は、特にトポロジカル効果の取り扱いにおいて、おそらく大きな系統的誤差を含む可能性がある。
• ゼロ有効スピン近傍にスペクトルギャップが現れるのは、$m_q \to 0$ 限界においてクォーク線の連結および非連結寄与が正確にキャンセルされる場合に限る。
• このようなキャンセルがなければギャップが現れないという事実は、ディラックスペクトルが微調整された寄与が一致しない限りギャップを持たないことを示唆する。
• 結果として、$U(1)_A$ 違反信号の解釈には注意が必要であり、物理的効果ではなく系統的アーティファクトに起因する可能性がある。