[論文レビュー] The spectral determinations of the multicone graphs Kw+mCn

Ali Zeydi Abdian|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Graph theory and applications参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$w, m \neq 1$ かつ $n \neq 6$ の条件下で、完全グラフ $K_w$ と $m$ 個の互いに素なサイクル $C_n$ の結合によって得られるマルチコネグラフが、隣接スペクトルおよびラプラシアンスペクトルによって同定可能であることを証明している。さらに、$n=3$ のとき、これらのグラフの補グラフが隣接スペクトルによって同定可能であることが示され、同スペクトルを持つグラフが完全となるための条件が確立されている。本研究は、ホイールグラフに続く新しいクラスのマルチコネグラフに対するスペクトル同定の拡張を達成している。

ABSTRACT

The main goal of the paper is to characterize new classes of multicone graphs which are determined by both adjacency and Laplacian spectra. A multicone graph is defined to be the join of a clique and a regular graph. A wheel graph obtained from the join of a complete graph on a vertex with a cycle. A question about when wheel graphs are determined by their adjacency spectra is still unsolved. So, any indication about the determinations of these graphs with respect to their adjacency spectra can be an interesting and important problem. In [Y. Zhang, X. Liu, and X. Yong: Which wheel graphs are determined by their Laplacian spectra?. Comput. Math. Appl., 58 (2009) 1887{1890] and [M.-H. Liu: Some graphs determined by their (signless) Laplacian spectra. Czech. Math. J., 62, (2012) 1117{1134] it have been shown that except for, the wheel graph of order seven, all wheel graphs are determined by their Laplacian spectra and wheel graphs are determined by their signless Laplacian spectra, respectively. In this study, we present new classes of connected multicone graphs which are a natural generalization of wheel graphs and we show that these graphs are determined by their adjacency spectra as well as their Laplacian spectra. Also, we show that complement of some of these graphs are determined by their adjacency spectra. In addition, we give a necessary and sufficient condition for perfecting graphs cospectral with presented graphs in the paper. Finally, we pose two problems for further work.

研究の動機と目的

• 隣接スペクトルおよびラプラシアンスペクトルによって同定可能な、新たなマルチコネグラフのクラスを同定すること。
• まだ部分的に未解決のまま残っているホイールグラフの一般化を図ること。
• マルチコネグラフの補グラフのスペクトル的性質を調査すること。
• 同スペクトルを持つグラフが完全となるための必要十分条件を確立すること。
• 今後の研究のための未解決問題を提示すること、特に符号なしラプラシアンスペクトルおよび補グラフスペクトルに関するもの。

提案手法

• $w$ についての数学的帰納法を用いて、$K_w \triangledown mC_n$ のラプラシアンスペクトルを導出する。
• サイクル $C_n$ の既知のスペクトル公式を適用する。特に $\operatorname{Spec}_L(C_n) = 2 - 2\cos(2\pi k/n)$ を用いる。
• グラフの結合 $G \triangledown H$ を用いて、$K_w$ と $mC_n$ からマルチコネグラフを構成し、結合のスペクトル的性質を活用する。
• もし $\operatorname{Spec}_L(G) = \operatorname{Spec}_L(H)$ かつ $G$ が2つのグラフの結合であるならば、スペクトルの一意性の下で $H$ は $G$ と同型でなければならないという事実を用いる。
• ロヴァーシュの完全グラフ定理およびベルジュの予想を適用して、誘導部分グラフおよび同スペクトルグラフの完全性を分析する。
• $\overline{mC_n}$ の構造を分析し、$n$ が偶数または $n=3$ のとき、$\overline{K_w \triangledown mC_n}$ に奇数の穴や反穴を含まないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 $w, m \neq 1$ かつ $n \neq 6$ のもとで、マルチコネグラフ $K_w \triangledown mC_n$ は隣接スペクトルによって同定可能か？
• RQ2 同じ条件下で、これらのマルチコネグラフはラプラシアンスペクトルによって同定可能か？
• RQ3 補グラフ $\overline{K_w \triangledown mC_n}$ は隣接スペクトルによって同定可能か？
• RQ4 どのような条件下で、$K_w \triangledown mC_n$ と同スペクトルであるグラフは完全か？
• RQ5 $K_w \triangledown mC_n$ は符号なしラプラシアンスペクトルによって同定可能か？

主な発見

• 条件 $w, m \neq 1$ かつ $n \neq 6$ のもとで、マルチコネグラフ $K_w \triangledown mC_n$ は隣接スペクトルによって同定可能である。
• 同じ条件下で、これらのマルチコネグラフはラプラシアンスペクトルによっても同定可能である。
• 補グラフ $\overline{K_w \triangledown mC_3}$ はその隣接スペクトルによって同定可能である。
• 補グラフ $\overline{K_w \triangledown C_4}$ は、論文で引用された先行研究により、その隣接スペクトルによって同定可能であることが示されている。
• 同スペクトルを持つグラフが完全であるのは、$n$ が偶数または $n=3$ のときに限る。これは、奇数の穴や反穴が存在しないためである。
• 本稿では2つの予想を提示している：$\overline{K_w \triangledown mC_n}$ は隣接スペクトルによって同定可能であり、$K_w \triangledown mC_n$ は符号なしラプラシアンスペクトルによって同定可能である。