[論文レビュー] The spectral extrema of graphs of odd size forbidding $H(4,3)$ beyond the book graph

Abdul Basit Wani, S. Pirzada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2026

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ひとこと要約

この論文は、書籍グラフを除外した奇数サイズの H(4,3)-free グラフに対してスペクトル半径の鋭い上界を確立し、その界を達成する唯一の極値グラフを同定します。

ABSTRACT

A graph is said to be $H$-free if it does not contain a subgraph isomorphic to $H$. The fish graph, denoted by $H(4, 3)$, is a $6-$vertex graph obtained from a cycle of length $4$ and a triangle by sharing a common vertex. Earlier it is shown that $λ(G)\leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$ holds for all $H(4,3)-$free graphs of odd size $m\geq 44,$ and the equality holds if and only if $G\cong S_{\frac{m+3}{2},2},$ where $S_{\frac{m+3}{2},2}$ is the $m-$edge book graph $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ where $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ denotes the join of $K_2$ and $\frac{m-1}{2}K_1.$ Let $\mathcal{G}(m,H(4,3))$ denote the family of $H(4,3)$-free graphs with $m$ edges and no isolated vertices. We write $ \mathcal{G}(m,H(4,3)) \setminus \left\{ K_2 \vee frac{m-1}{2}K_1 ight\} $ for the corresponding subfamily obtained by excluding the book graph. In this paper, we establish a sharp upper bound on the spectral radius of graphs over $\mathcal{G}(m,H(4,3))\setminus \{K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1\}$ for odd $m\geq 58$ and characterize the unique extremal graph attaining this bound.

研究の動機と目的

• H(4,3)-free グラフのスペクトル極値問題を、孤立頂点を持たない奇数サイズという条件で Studying の動機づけ。
• 指定された族のグラフに対してスペクトル半径の鋭い上界を決定する。
• 界を達成する唯一の極値グラフを特徴づける。

提案手法

• ペロン–フォリブ経験論とペロンベクトルを用いて頂点の重みとスペクトル半径を関連付ける。
• 公平分割と商行列を用いて最大固有値を上界付けする。
• H(4,3)-free グラフの局所近傍に関する構造補助定理を導出・分析する。
• ペロンベクトルに導かれた辺の再配置議論を行いスペクトル半径を比較する。
• 極値グラフが特定の結合構造と同型であることを示すためのケース分析を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 m ≥ 58 かつ m が奇数であるとき、G(m,H(4,3)) に属する G のうち書籍グラフを除外したときのスペクトル半径 λ(G) の最大値は何か。
• RQ2 奇数サイズの制約の下で、K2 ∨ (m−1)/2 K1 を除外した後の H(4,3)-free グラフの中で最大スペクトル半径を達成するグラフはどれか。
• RQ3 述べられた族の界を達成する G の正確な極値構造はどのようなものか。

主な発見

• 奇数 m ≥ 58 かつ G ∈ G(m,H(4,3)) ackslash {K2 ∨ (m−1)/2 K1} のとき、スペクトル半径は λ(G) ≤ λ̃(m) を満たす。
• 等号成立はかつつ G ≅ K1 ∨ (K1, (m−3)/2 ⊔ 2K1) のときに同値。
• λ̃(m) は x^4 − m x^2 − (m−3) x + m − 3 = 0 の最大根である。
• 極値グラフは制限された族内で一意であり、次数-1 の頂点の小さな集合を含む特定の結合構造によって特徴づけられる。