[論文レビュー] The spin Drude weight of the spin-1/2 $XXZ$ chain: An analytic finite size study

Andreas Klümper, Kazumitsu Sakai|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Quantum many-body systems参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ストリング仮説の近似を避けて、T-およびY-システムを用いてスピン-1/2 XXZ鎖におけるスピンDrude重みの解析的有限サイズ研究を提示する。Drude重みが熱力学的極限に非常にゆっくり収束することを明らかにし、過去の数値的外挿における不一致を説明するとともに、Zotosの正確な結果が強い系サイズ依存性を伴って確認されることを示している。

ABSTRACT

The Drude weight for the spin transport of the spin-1/2 $XXZ$ Heisenberg chain in the critical regime is evaluated exactly for finite temperatures. We combine the thermodynamic Bethe ansatz with the functional relations of type $Y$-system satisfied by the row-to-row transfer matrices. This makes it possible to evaluate the asymptotic behavior of the finite temperature spin Drude weight with respect to the system size. As a result, the Drude weight converges to the results obtained by Zotos (Phys. Rev. Lett. 82, 1764 (1999)), however with very slow convergence upon increase of the system size. This strong size dependence may explain that extrapolations from various numerical approaches yield conflicting results.

研究の動機と目的

• XXZ鎖における有限温度スピンDrude重みの長年の数値的議論を解決すること。
• ストリング仮説やその補正に依存せずに、Drude重みの正確な有限サイズ評価を提供すること。
• Drude重みの系サイズ依存性を分析することで、数値的外挿が矛盾した結果をもたらす理由を明確にすること。
• 磁場フラックス下でのエネルギー準位の曲率を計算するためのT-およびY-システムに基づく新しい手法を確立すること。
• Drude重みの漸近的挙動と、熱力学的極限におけるZotosの正確な結果への収束を確認すること。

提案手法

• XXZ鎖のスペクトルを記述するための、伝達行列およびその組み合わせが満たす関数的関係（T-およびY-システム）を用いる。
• Y関数およびその零点を介して、磁場フラックス下でのエネルギー準位の曲率を表現し、Drude重みの正確な有限サイズ評価を可能にする。
• 系の熱力学的および有限サイズの性質を記述する非線形積分方程式（NLIEs）をY関数に対して導出する。
• ドレッシング関数形式を用いて、Drude重みをフラックスおよび温度パラメータに関してY関数の対数の2階微分と関連付ける。
• NLIEの数値的評価を実施し、有限サイズDrude重みおよびその漸近的スケーリングを抽出する。
• Yシステムの熱力学的極限を用いてZotosの正確な結果を回復し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜさまざまな数値的研究が、XXZ鎖における有限温度スピンDrude重みについて矛盾した結果をもたらすのか？
• RQ2 有限系におけるDrude重みはどのように振る舞い、熱力学的極限への収束速度はどのようになるのか？
• RQ3 ストリング仮説に依存せずに、有限サイズにおけるDrude重みを正確に計算できるか？
• RQ4 T-およびY-システムは、可積分模型におけるフラックス下でのエネルギー準位の曲率記述において、どのように機能するのか？
• RQ5 以前に提唱されたように、有限サイズDrude重みはアニュイソトロピー係数にフラクタル的依存性を示すのか？

主な発見

• 有限サイズスピンDrude重みは、熱力学的極限への収束が極めて遅く、強い系サイズ依存性を示す。
• 本手法は熱力学的極限においてZotosの正確な結果を再現し、その妥当性を確認する。
• Drude重みの収束速度が遅いため、過去の研究における数値的外挿による矛盾した結果が説明できる。
• T-およびY-システムのアプローチはストリング仮説の近似を回避し、より厳密な有限サイズフレームワークを提供する。
• 臨界領域ではDrude重みは有限のままであり、温度およびアニュイソトロピーとともに単調に減少する。これはZotosの結果と整合的である。
• 本手法により、漸近的有限サイズ挙動の解析的推定が可能となり、可積分模型における輸送の研究に新たなツールを提供する。