[論文レビュー] The spinor bundle of Riemannian products

Frank Klinker|ArXiv.org|Dec 4, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体の直積 $M = M_1 \times \cdots \times M_N$ のスピン束とその因子のスピン束のテンソル積の間の標準的同型写像を、リーマン多様体の直積でない一般の計量の下で確立する。この構成はクリフォード乗法と $\mathbb{Z}_2$-符号付けを用い、因子のスピン束のテンソル積から $M$ 上のスピン束を定義し、$M$ がスピンであることを証明するとともに、スピン束がテンソル積束の部分束に同型であることを示す。これはホロノミーの仮定や局所的直積構造の仮定がなくても成り立つ。

ABSTRACT

In this note we compare the spinor bundle of a Riemannian manifold $(M=M_1 imes... imes M_N,g)$ with the spinor bundles of the Riemannian factors $(M_i,g_i)$. We show, that - without any holonomy conditions - the spinor bundle of $(M,g)$ for a special class of metrics is isomorphic to a bundle obtained by tensoring the spinor bundles of $(M_i,g_i)$ in an appropriate way.

研究の動機と目的

• リーマン多様体の直積多様体 $M = M_1 \times \cdots \times M_N$ 上のスピン束をその因子のスピン束から厳密に構成すること。
• スピン束が $M$ の因子のスピン束のテンソル積に同型であるという事実について、物理学で広く用いられているが、以前には一般に証明されていなかった問題を解決すること。
• このような同型が成り立つ条件を明確にすること、特に計量がリーマン多様体の直積でなくてもよく、特定の計量分解（2）を満たす場合に限る。
• 1次元因子を伴う $N=2$ の場合に既知の結果（Baum, 1989a）を、任意の次元および形式（2）の一般計量にまで拡張すること。

提案手法

• 本稿は、因子 $M_i$ のスピン束 $S_i$ から $W = \bigotimes_{i=1}^N (S_i^+ \oplus S_i^-)$ というバンドルを構成し、$\mathbb{Z}_2$-符号付けを備える。
• 線形写像 $\delta_k$ を用いた修正された作用を介して、$W$ 上にクリフォード乗法を定義する。ここで $\delta_k$ は $k$ 番目の因子における作用素を挿入する際の符号付けの変化を追跡する。
• 多様体 $M$ の計量は、$g_{ab}|_{TM_i} = A_i^c_a g_i^{cd} A_i^d_b$ の形をとると仮定し、接束が正規直交分解され、フレームバンドルが $SO(D_1) \times \cdots \times SO(D_N)$ に還元されることを保証する。
• スピン構造は、$Spin(D)$-主バンドルを $Spin(D_1) \times \cdots \times Spin(D_N)$ に還元することによって構成され、ファイバー積構成 $(P_G \times P_{\widetilde{H}})/P_H$ を用いる。
• $M$ 上のスピン束 $S$ は、同型写像 $S \simeq (P_G \times P_{\widetilde{H}})/P_H \times_{\widetilde{G}} \hat{S}$ を介して $W$ の部分バンドルとして特定される。ここで $\hat{S}$ は標準スピン表現である。
• 主な技術的ステップは、すべての $X,Y \in TM$ および $\Xi \in W$ に対して、$(XY + YX)\Xi = -2g(X,Y)\Xi$ が $W$ 上で成り立つことを証明することであり、これによりバンドルが有効なクリフォードモジュール構造を持つことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体の直積多様体 $M = M_1 \times \cdots \times M_N$ のスピン束がその因子のスピン束のテンソル積に同型である条件は何か？
• RQ2 計量がリーマン多様体の直積でなく、ホロノミーが分解しないとしても、$M$ のスピン束と因子スピン束のテンソル積との同型が確立可能か？
• RQ3 全スピンバンドル $W$ 上のクリフォード乗法は、個々の因子 $M_i$ から多様体 $M$ への拡張はどのように行われるか？
• RQ4 $\mathbb{Z}_2$-符号付けは、$M$ 上でのクリフォード乗法におけるスピンの変換性を正しく保つために果たす役割は何か？
• RQ5 計量条件（2）の下で、$M$ 上のスピン構造は因子 $M_i$ のスピン構造によって一意に定まるか？また、これはバンドル還元にどのように反映されるか？

主な発見

• 計量 $g$ がリーマン多様体の直積でなくても、計量条件（2）を満たせば、$M = M_1 \times \cdots \times M_N$ のスピン束はテンソル積バンドル $W = \bigotimes_{i=1}^N (S_i^+ \oplus S_i^-)$ の部分バンドル $S$ に同型である。
• すべての $X,Y \in TM$ および $\Xi \in W$ に対して、$(XY + YX)\Xi = -2g(X,Y)\Xi$ が $W$ 上で成り立つ。これにより $W$ が有効なクリフォードモジュール構造を持つことが確認される。
• 多様体 $M$ 上のスピン構造は、因子 $M_i$ 上のスピン構造の積から誘導され、$M$ 上の $Spin(D)$-主バンドルは $Spin(D_1) \times \cdots \times Spin(D_N)$ に還元され、$M$ がスピンであることを保証する。
• $A_i = \text{id}$ の特別な場合に、この構成は標準的な結果（リーマン多様体の直積のスピン束は因子スピン束のテンソル積に一致する）を回復する。
• 本稿の構成は、$N=2$ で1次元因子を伴う既知の結果（Baum, 1989a）を、任意の $N$ および形式（2）の一般計量にまで拡張し、数学的文献における空白を埋める。
• 結果は、注記6(1)で述べられているように、擬リーマン幾何学的設定でも成り立つ。これにより、リーマン幾何学を超えた応用可能性が拡張される。