[論文レビュー] The spreading behavior of quantum walks induced by drifted random walks on some magnifier graph

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡大グラフ上におけるずれ付きランダムウォークによって誘導されるSzegedy量子ウォークの広がり行動を調査する。基礎となるランダムウォークの固有値が、有限長の往復路を通じて局在化を引き起こすのに対し、ランダムウォークの非再帰性は量子ウォークの擬似速度を遅くし、Konnoのものとは異なる極限分布を生じさせ、ランダムウォークスペクトルのスペクトルギャップによって特徴づけられる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the quantum walk on $\mathbb{Z}$ with attachment of one-length path periodically. This small modification to $\mathbb{Z}$ provides localization of the quantum walk. The eigenspace causing this localization is generated by finite length round trip paths. We find that the localization is due to the eigenvalues of an underlying random walk. Moreover we find that the transience of the underlying random walk provides a slow down of the pseudo velocity of the induced quantum walk and a different limit distribution from the Konno distribution.

研究の動機と目的

• 拡大グラフ上におけるずれ付きランダムウォークのスペクトル的性質が、誘導されるSzegedy量子ウォークの広がり行動に与える影響を理解すること。
• サイクルが存在しない場合でも量子ウォークに局在化が生じるかを調査し、ホモロジーに基づく従来の幾何的説明に挑戦すること。
• 誘導された量子ウォークの極限分布を特徴づけ、それが基礎となるランダムウォークの非再帰性およびスペクトルギャップにどのように依存するかを特定すること。
• 得られる量子ウォークの漸近的挙動に基づいて、ずれ付きランダムウォークのパrameter領域を分類すること。

提案手法

• 遷移確率 (p, q, r) を持つ三パラメータのずれ付きランダムウォークを用いて、パスが付加された Z の周期的拡張である拡大グラフ上にSzegedyウォークを構築する。
• スペクトル写像定理を適用し、ランダムウォークの遷移行列 P の固有値を複素数平面の単位円上に持ち上げ、局在化を引き起こす固有空間を同定する。
• 有限長の往復路によって生成される固有空間 L± を定義し、初期状態がこれらの部分空間に非ゼロの重みを持つ限り、量子ウォークが局在化することを示す。
• ランダムウォークの連続スペクトルを分析し、スペクトルギャップ (−λ₀, λ₀) および (−1, λ₁) ∪ (λ₁, 1) を特定する。ここで λ₀ = inf|spec(P)\{0}| および λ₁ = sup|spec(P)| である。
• スペクトル解析と積分変換を用いて、スケーリングされた量子ウォークの弱収束分布を導出し、λ₀ と λ₁ を含む密度関数を得る。
• 極限密度を二つの成分の和として表現する：一つはKonnoの分布に類似し、もう一つは λ₁ < 1 のときのみ現れる新しい波成分 γ±(x;λ₁,λ₀) である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクルや非自明なホモロジーが存在しない場合でも、量子ウォークにおける局在化が生じ得るか？ もし可能であれば、その背後にあるメカニズムは何か？
• RQ2 基礎となるずれ付きランダムウォークの非再帰性が、誘導された量子ウォークの擬似速度および極限分布にどのように影響するか？
• RQ3 ランダムウォークスペクトルのスペクトルギャップ、特に λ₀ と λ₁ が、量子ウォークの広がり行動に果たす役割は何か？
• RQ4 誘導された量子ウォークの極限分布は、基礎となるランダムウォークのパrameter (p, q, r) によって一意に決定されるか？ また、それらのパラメータは漸近的挙動に基づいて分類可能か？
• RQ5 新しい波成分が極限分布に現れる条件は何か？ これはKonnoの分布とは明確に異なる。

主な発見

• 誘導された量子ウォークにおける局在化は、サイクルやホモロジー的構造によるものではなく、基礎となるランダムウォークの固有値に起因する。具体的には、ランダムウォークが 0 に非ゼロの固有値を持つ場合に生じる。
• 局在化を引き起こす固有空間は、有限長の往復路によって生成され、初期状態がこれらの固有空間に非ゼロの射影を持つ限り、量子ウォークは局在化を示す。
• 基礎となるランダムウォークが非再帰的である場合、量子ウォークの擬似速度は低下し、その低下度合いは λ₀ と λ₁ の両方によって決定される。
• 新しい波成分は、基礎となるランダムウォークが非再帰的（λ₁ < 1）である場合にのみ極限分布に現れ、再帰的（λ₁ = 1）である場合には存在しない。
• 極限密度関数は明示的に二つの項の和として導出され、一つはKonnoの分布に類似し、もう一つは γ±(x;λ₁,λ₀) を含む。この項は λ₁ = 1 のとき消える。
• パrameter空間 (p, q, r) は、得られる極限分布に基づいて同値類に分類可能であり、(p, q, r) ∼ (p′, q′, r′) であるための必要十分条件は、λ₁(p, q, r) = λ₁(p′, q′, r′) かつ λ₀(p, q, r) = λ₀(p′, q′, r′) であることである。