[論文レビュー] The spreading fronts of an infective environment in a man-environment-man epidemic model

Inkyung Ahn, Zhigui Lin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、人間-環境-人型の感染症システムにおける便口感染性細菌の空間的拡散と消滅を研究するため、自由境界反応拡散モデルを導入する。変化する環境サイズを反映する時間依存の基本再生産数 $ R^{F}_{0}(t) $ を定義することで、鋭い条件を確立した：ある $ t_0 $ に対して $ R^{F}_{0}(t_0) \geq 1 $ ならば細菌は拡散する。$ R_0 \leq 1 $ ならば細菌は消滅する。また $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ の場合、初期条件（初期の細菌負荷および環境サイズを含む）に依存して結果が異なる。

ABSTRACT

A reaction-diffusion model is investigated to understand infective environments in a man-environment-man epidemic model. The free boundary is introduced to describe the expanding front of an infective environment induced by fecally-orally transmitted disease. The basic reproduction number $R^F_0(t)$ for the free boundary problem is introduced, and the behavior of positive solutions to the reaction-diffusion system is discussed. Sufficient conditions for the bacteria to vanish or spread are given. We show that, if $R_0\leq 1$, the bacteria always vanish, and if $R^F_0(t_0)\geq 1$ for some $t_0\geq 0$, the bacteria must spread, while if $R^F_0(0)&lt;1

研究の動機と目的

• 便口感染性疾患における感染環境の徐々な空間的拡大を、自由境界アプローチを用いてモデル化すること。
• 初期拡散にかかわらず即座に環境が感染すると仮定する固定領域モデルの限界を克服すること。
• 動的環境サイズおよび拡散効果を反映する時間依存の基本再生産数 $ R^{F}_{0}(t) $ を導入すること。
• 細菌が無限に拡散するか、時間とともに消滅するかを特定する鋭い基準を確立すること。
• 初期条件（初期の細菌負荷、環境長、拡散率など）が長期的な流行結果に与える影響を分析すること。

提案手法

• 感染環境の拡大フロントを表す自由境界 $ g(t) $ と $ h(t) $ を含む反応拡散系を定式化する。
• 環境サイズと拡散率に依存する時間依存の基本再生産数 $ R^{F}_{0}(t) = \frac{G'(0) \cdot a_{12}/a_{22}}{a_{11} + d(\pi/(h(t)-g(t)))^2} $ を導入する。
• 上解と下解を用いて比較原理に適した部分解と上界解を構成する。
• 最大原理および比較定理を用いて、移動領域における解の長期的挙動を分析する。
• 自由境界におけるステファン型条件を用いて拡散プロセスをモデル化し、境界が集団動態に従って進化することを保証する。
• コンパクト集合上で一様収束を用いて解の漸近的挙動を分析し、拡散ダイナミクスを検証するための完全解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感染環境が無限に拡散するか、完全に消滅するかの条件は何か？
• RQ2 時間依存の基本再生産数 $ R^{F}_{0}(t) $ が細菌の長期的運命をどのように決定するか？
• RQ3 初期条件（初期の細菌負荷や環境サイズなど）が拡散または消滅に与える役割は何か？
• RQ4 細菌の拡散率 $ d $ が拡散の閾値に与える影響は何か？
• RQ5 $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ の場合、拡散または消滅が生じるかを決定する具体的な初期要因は何か？

主な発見

• $ R_0 \leq 1 $ ならば、初期条件にかかわらず常に細菌は消滅する。これはODE系の結果と一致する。
• $ R^{F}_{0}(t_0) \geq 1 $ となる $ t_0 \geq 0 $ が存在するならば、細菌は必ず拡散し、$ h_\infty - g_\infty = \infty $ かつ $ (u,v) \to (u^*,v^*) $ がコンパクト集合上で一様収束する。
• $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ の場合、結果は初期データに強く依存する：初期の細菌負荷が十分に大きい、または初期の環境が十分に広い場合に拡散が生じる。
• 拡散または消滅の結果は、自由境界の拡大速度とフロントにおける集団勾配の比 $ \mu $ にも依存し、$ \mu $ が大きいほど拡散が促進される。
• 時間依存の $ R^{F}_{0}(t) $ は $ R^{F}_{0}(t) \leq R_0 $ を満たし、環境が無限に拡大するならば $ t \to \infty $ のとき $ R^{F}_{0}(t) \to R_0 $ に収束する。
• 拡散-消滅の二分法が確立された：細菌は、エンドミック平衡への収束とともに全球的に拡散するか、有界な環境と減少する集団を伴って消滅する。