[論文レビュー] The square root problem for second order, divergence form operators with mixed boundary conditions on $L^p$

Pascal Auscher, Nadine Badr+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

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ひとこと要約

本稿では、$p=2$ の場合にこの同型が成り立つものと仮定して、混合境界条件を満たす第二順階の発散型楕円型作用素の平方根が、重み付きソボレフ空間 $W^{1,p}_D(\Omega)$ と $L^p\!(\Omega)$ の間に位相的同型を定めることが確立される。この結果は、一般の幾何的条件および係数条件のもとで、ヒルベルト空間でない $L^p$ 空間へのカトウの平方根問題の拡張を、不規則な領域におけるアールフォルス＝ダヴィッド正則なディリクレ部分と、ネウマン部分におけるリプシッツ的チャートを用いて行う。

ABSTRACT

We show that, under general conditions, the operator $\\bigl (-\ abla \\cdot \\mu \ abla +1\\bigr)^{1/2}$ with mixed boundary conditions provides a topological isomorphism between $W^{1,p}_D(\\Omega)$ and $L^p(\\Omega)$, for $p \\in {]1,2[}$ if one presupposes that this isomorphism holds true for $p=2$. The domain $\\Omega$ is assumed to be bounded, the Dirichlet part $D$ of the boundary has to satisfy the well-known Ahlfors-David condition, whilst for the points from $\\overline {\\partial \\Omega \\setminus D}$ the existence of bi-Lipschitzian boundary charts is required.

研究の動機と目的

• $p \neq 2$ の $L^p$-空間における混合境界条件付きのカトウの平方根問題の拡張。
• 発散型楕円型作用素の平方根の定義域が、$p \in (1,2)$ に対して $W^{1,p}_D(\Omega)$ であることを確立すること。
• 前記の $L^p$-同型性に関する結果を、滑らかでない領域および混合境界条件を含む一般化すること。
• 純粋なディリクレおよびネウマンの場合に既知の結果に対する、グローバルな幾何的仮定に基づく新しい証明を提供すること。

提案手法

• $p=2$ の場合に同型が成り立つことを出発点として仮定する。
• $L^2$ から $L^p$（$p \in (1,2)$）への同型性の拡張に、実補間および複素補間理論を適用する。
• 拡張作用素および $p$-脂肪性基準を用いて導出された、混合境界条件におけるハーディー型不等式を用いる。
• ネウマン部分にはリプシッツ的境界チャートを、ディリクレ部分にはアールフォルス＝ダヴィッド条件を用いて、幾何的不規則性を制御する。
• $L^p$ 上での平方根作用素の挙動を制御するため、カルデロン＝ジムンド分解および作用素論を応用する。
• $L^p$ から $W^{-1,q}_D$-空間（$q \in [2,\infty)$）への性質の転送を可能にするために、双対性および随伴作用素の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合境界条件を満たす第二順階の発散型作用素の平方根が、$p \in (1,2)$ に対して $W^{1,p}_D(\Omega)$ と $L^p(\Omega)$ の間に位相的同型を定めるか？
• RQ2 $p=2$ から $p \in (1,2)$ への $L^p$-同型性の拡張は、一般の幾何的および係数条件のもとで可能か？
• RQ3 領域 $\Omega$ 及びその境界分割 $D \cup (\partial\Omega \setminus D)$ に対して、$L^p$-同型性を保証するのに十分な幾何的条件は何か？
• RQ4 補間技法およびハーディー型不等式は、非ヒルベルト空間 $L^p$-空間への平方根問題の拡張にどのように寄与するか？
• RQ5 $L^p$-同型性は、双対空間上での作用素の $H^\infty$-計算および最大放物型正則性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 作用素 $(-\nabla \cdot \mu \nabla + 1)^{1/2}$ は、$p=2$ の場合に同型が成り立つものと仮定すれば、すべての $p \in (1,2)$ に対して $W^{1,p}_D(\Omega)$ と $L^p(\Omega)$ の間に位相的同型を定める。
• 最小限の幾何的仮定のもとで結果が成り立つ：ディリクレ部分 $D$ はアールフォルス＝ダヴィッド条件を満たし、ネウマン部分 $\partial\Omega \setminus D$ はリプシッツ的境界チャートを有する。
• 拡張作用素および $p$-脂肪性基準を用いて、混合境界条件におけるハーディー不等式が確立され、境界付近の特異性が制御可能になる。
• 随伴作用素 $(-\nabla \cdot \mu^T \nabla + 1)^{1/2}$ は、$q \in [2,\infty)$ に対して $L^q(\Omega)$ から $W^{-1,q}_D(\Omega)$ への同型を誘導し、双対性の議論が可能になる。
• $L^q(\Omega)$ 上での作用素 $-\nabla \cdot \mu \nabla + 1$ は、角度 $\arctan(\|\mu\|_{L^\infty}/\mu_\bullet)$ の有界な $H^\infty$-計算を備え、最大放物型正則性を満たす。
• $W^{-1,q}_D(\Omega)$ 上への作用素の拡張は、正値性、有界な $H^\infty$-計算、最大放物型正則性を保ち、非線形放物型方程式への応用が可能になる。