[論文レビュー] The Stability of Free Fermi Hamiltonians

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Quantum many-body systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル障害を相殺するために系を二重化する新しい構成を用いて、弱い局所的摂動下でもギャップを持つ局所的自由フェルミオンハミルトニアンの安定性を証明する。主な結果として、系のサイズに依存しない一様な安定性バインディングを確立し、このような系における物理的性質（例：ホール伝導度の量子化）の厳密な制御を可能にする。

ABSTRACT

Recent results have shown the stability of frustration-free Hamiltonians to weak local perturbations, assuming several conditions. In this paper, we prove the stability of free fermion Hamiltonians which are gapped and local. These free fermion Hamiltonians are not necessarily frustration-free, but we are able to adapt previous work to prove stability. The key idea is to add an additional copy of the system to cancel topological obstructions. We comment on applications to quantization of Hall conductance in such systems.

研究の動機と目的

• ギャップを持つ局所的自由フェルミオンハミルトニアンが弱い局所的摂動を受けても、系のサイズに依存しない一様な安定性バインディングを確立すること。
• 一般の自由フェルミオン系に標準的なフラストレーションフリー安定性定理を適用できないトポロジカル障害を克服すること。
• 従来、フラストレーションフリーまたは可換射影子ハミルトニアンに限定されていた安定性結果を、より広い自由フェルミオン系のクラスへと拡張すること。
• 局所的相互作用を有するギャップを持つフェルミオン系におけるホール伝導度の量子化を、厳密に裏付ける基盤を提供すること。
• 非局所変換や近似局所基底に依存しない方法を開発し、トポロジカルに非自明な場合に失敗することが知られている問題を回避すること。

提案手法

• トポロジカル障害を相殺するために、元の自由フェルミオンハミルトニアンの第二のコピーを追加することで、二重化された系を導入する。
• 元の系とそのコピーを組み合わせた二重ハミルトニアン $H_{doub}$ を定義し、全系がフラストレーションフリーであり、安定性定理の条件を満たすようにする。
• 準断熱的続行法を用いて、摂動下での基底状態の変化を制御し、スペクトルギャップと相互作用強度のバインディングを用いる。
• スペクトルギャップと相互作用強度のバインディングを用いて、摂動された演算子の局所性を制御するため、超多項式的減衰を示すLieb-Robinson型バインディングを用いる。
• 局所的寄与を分離するために、修正されたハミルトニアン $X_u = \tilde{V}_u + (\tilde{H}_{0,u} - M_u)$ を構築し、摂動強度が系のサイズに依存せず $O(J)$ のままであることを証明する。
• 既存のフラストレーションフリーハミルトニアンに関する結果（例：BravyiとHastings, 2011）を、二重化された系に適応することで、安定性を再導出する必要を避け、既存の証明フレームワークを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のギャップを持つ局所的自由フェルミオンハミルトニアンが、フラストレーションフリーでない場合でも、弱い局所的摂動下で安定性を示せるか？
• RQ2 自由フェルミオン系において、標準的なフラストレーションフリー安定性定理の適用を妨げるトポロジカル障害を、体系的にどのように相殺できるか？
• RQ3 系のサイズに依存しない一様な安定性バインディングを、1サイトあたりのメジャナ型演算子の数が有界でない自由フェルミオンモデルに対しても達成できるか？
• RQ4 二重化された系の構成が、摂動下でも局所性とスペクトルギャップをどのように保つのか。その結果、物理的観測量の厳密な制御が可能になるか？
• RQ5 この安定性結果を用いて、局所的相互作用を有するギャップを持つフェルミオン系におけるホール伝導度の量子化のロバスト性を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、弱い局所的摂動下でも、ギャップを持つ局所的自由フェルミオンハミルトニアンの安定性定理を確立し、そのバインディングは系のサイズに依存しない。
• 安定性バインディングは、スペクトルギャップ $\Delta$ と摂動強度 $J$ によって定量的に制御され、摂動の時間発展演算子の後でも摂動強度は $O(J)$ のままである。
• 二重化された系の構成により、標準的なフラストレーションフリー安定性定理の適用を妨げるトポロジカル障害が効果的に相殺された。
• この方法により、十分に小さな $J$ に対して摂動付きハミルトニアン $H_{FF} + V$ がギャップを持つことが保証され、ギャップはほぼ指数関数的に小さい補正の範囲で保存される。
• この結果は、このような系におけるホール伝導度が量子化され、弱い局所的摂動に対してもロバストであることを示唆しており、既存の文献結果と整合的である。
• このアプローチは、トポロジカルに非自明な場合に失敗することが知られている非局所変換や近似局所基底に依存しないため、優位性を示す。