[論文レビュー] The Stability of Full Dimensional KAM tori for Nonlinear Schrödinger equation

Hongzi Cong, Jianjun Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件を満たす1次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）における、完全次元KAMトーラスの長時間安定性を確立する。Bourgainが導入した緩やかな減衰 $ I_n \sim e^{-r|n|^{1/2}} $ を示すトーラスの構成を基盤とし、たんぱく質的推移法とテーム推定を用いたナッシュ＝モーザー反復スキームにより、これらのトーラスの近傍における解が指数的長時間にわたり近接したままであることを証明する。これは、有限次元から無限次元ハミルトニアンPDEへの安定性結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper, it is proved that the full dimensional invariant tori obtained by Bourgain [J. Funct. Anal., extbf{229} (2005), no. 1, 62-94.] is stable in a very long time for 1D nonlinear Schrödinger equation with periodic boundary conditions.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件を満たす1次元非線形シュレーディンガー方程式（NLS）における完全次元KAMトーラスの長時間安定性を確立すること。
• 無限次元ハミルトニアンPDEへの古典的KAM理論の拡張を図ることで、無限個の自由度を持つ状況における共振周波数相互作用の課題に取り組むこと。
• Bourgainが構築した、$ I_n \sim e^{-r|n|^{1/2}} $ のように減衰する作用を有する完全次元KAMトーラスが、指数的長時間スケールで安定であることを示すこと。
• 無限次元設定における同調方程式の解法の難しさを克服し、テーム推定を用いた洗練された反復スキームを開発すること。

提案手法

• 周期的境界条件を満たす1次元NLS方程式における完全次元KAMトーラスの構築と安定化に、ナッシュ＝モーザー反復スキームを適用する。
• 逐次的変換により非共鳴項を除去するビrkhoff正規形手続きを用い、摂動項を制御された大きさの剰余項にまで縮小する。
• 同調方程式 $ \{N_*, F_s\} + Q_{ss} = Z_{ss} $ に対するテーム推定を用い、無限次元設定下でも収束を保証する。
• 解 $ F_s $ が $ \|F_s\|_{\rho_s + \delta} \leq C_1(\delta, \theta, \gamma) \|Q_{ss}\|_{\rho_s} $ で有界であることを示す再帰的スキームを実装し、ディオファントス周波数の性質を活用する。
• 階乗的減衰と反復的境界を用いて、剰余項 $ Q_{s+1} $ と $ Z_{s+1} $ の成長を制御し、級数の収束を保証する。
• 調和解析と半代数的集合論の技術を用い、C-W-B（Craig-Wayne-Bourgain）法を無限次元系へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bourgainが周期的境界条件を満たす1次元NLSに対して構築した完全次元KAMトーラスは、長時間スケールで安定であると示せるか？
• RQ2 NLS方程式における長時間安定性を保証するのに十分な、作用 $ I_n $ の最適な減衰率は何か？
• RQ3 有限次元系で有効である古典的KAM安定性結果（$ |t| \lesssim \exp(\epsilon^{-1/2}) $）を、完全次元トーラスを有する無限次元PDE、たとえばNLSに拡張することは可能か？
• RQ4 自由度が無限個である場合に、反復的KAMスキームにおける剰余項の成長をどのように制御できるか？
• RQ5 無限次元設定において、テーム推定を用いて同調方程式を解くことは可能か？ これにより反復的正規化プロセスの収束が保証されるか？

主な発見

• Bourgainが周期的境界条件を満たす1次元NLSに対して構築した完全次元KAMトーラスは、指数的長時間、具体的には $ |t| \lesssim \exp(\epsilon^{-\frac{1}{2}}) $ の間、安定である。これは古典的Nekhoroshev型推定と一致する。
• KAMトーラス上での作用は $ I_n \sim e^{-r|n|^{1/2}} $ のように減衰するが、これは以前の構成で見られた $ S>1 $ を満たす $ e^{-|n|^S} $ の二重指数的減衰よりも著しく遅い。
• テーム推定の使用により、同調方程式の解における微分の成長が制御され、ナッシュ＝モーザー反復スキームの収束が保証される。
• 剰余項 $ Q_{s+1} $ と $ Z_{s+1} $ は $ (C(\delta, \theta, \gamma))^{(s-1)(s + n(s-1))} $ で有界であり、正規化プロセスの収束を保証する。
• ディオファントス周波数条件の下で安定性結果が成り立ち、テームFréchet空間枠組みにおける陰関数定理に依存する。
• 調和解析、半代数的集合論、反復的正規形技術を組み合わせることで、NLS方程式の無限次元性を効果的に扱うことに成功した。