[論文レビュー] The stabilization of the Frobenius--Hecke traces on the intersection cohomology of orthogonal Shimura varieties

Yihang Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ラングランズ＝コットヴィッツ法とエンデスコピック分類を用いて、Q 上の直交シムーラ多様体の交差特異ホモロジーにおけるフォビオウス–フック跡の安定化を確立する。主な結果は、アーバートとタイビの自動表現に関する最近の研究を踏まえた、安定化された跡公式であり、これは特別な場合における交差特異ホモロジーのハッセ＝ヴァイルゼータ関数の明示的計算を可能にする。

ABSTRACT

We study Shimura varieties associated with special orthogonal groups over the field of rational numbers. We prove a version of Morel's formula for the Frobenius--Hecke traces on the intersection cohomology of the Baily--Borel compactification. Our main result is the stabilization of this formula. As an application, we compute the Hasse--Weil zeta function of the intersection cohomology in some special cases, using the recent work of Arthur and Taïbi on the endoscopic classification of automorphic representations of special orthogonal groups.

研究の動機と目的

• 直交シムーラ多様体のバイリー＝ボレルコンパクト化の交差特異ホモロジーへのモレルの公式を、フォビオウス–フック跡の文脈に拡張すること。
• ラングランズ＝コットヴィッツ法とエンデスコピック技術を用いて、この跡公式を安定化すること。
• 自動表現のエンデスコピック分類を用いて、交差特異ホモロジーのハッセ＝ヴァイルゼータ関数を特別な場合に計算すること。
• 跡公式法を通じて、直交シムーラ多様体の算術的不変量を研究するためのコホモロジー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 交差特異ホモロジーの文脈における直交シムーラ多様体に、ラングランズ＝コットヴィッツ法を適応すること。
• 切断されたリー代数コホモロジーとコスタント–ウェイの項を用いて、跡公式の幾何的側を記述すること。
• コットヴィッツの固定点公式を適用し、コホモロジー上の跡と安定的軌道積分を関連させること。
• 跡計算における算術的整合性を保証するため、シムーラ多様体の整数的モデルを構成すること。
• アービュールとタイビによる特殊直交群の自動表現のエンデスコピック分類を活用し、スペクトル側を安定化すること。
• コスタント–ウェイの項と安定的離散系列の特徴の間の比較を確立し、幾何的項とスペクトル項を一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォビオウス–フック跡のモレルの公式を、直交シムーラ多様体のバイリー＝ボレルコンパクト化の交差特異ホモロジーへどのように拡張できるか。
• RQ2 これらのコホモロジー群に対する跡公式の安定化形は何か。また、エンデスコピックデータとどのように関係するか。
• RQ3 安定化された跡公式を用いて、特定の状況下で交差特異ホモロジーのハッセ＝ヴァイルゼータ関数をどのように計算できるか。
• RQ4 直交群の文脈において、コスタント–ウェイの項と安定的離散系列特徴の正確な関係は何か。
• RQ5 自動表現のエンデスコピック分類は、直交シムーラ多様体のコホモロジーにおける明示的算術計算をどの程度可能にするか。

主な発見

• 本稿では、Q 上の直交シムーラ多様体の交差特異ホモロジーにおけるフォビオウス–フック跡のモレルの公式の安定化版を証明する。
• 安定化はラングランズ＝コットヴィッツ法を用い、エンデスコピックデータを用いた幾何的項とスペクトル項の明示的一致によって達成される。
• 安定化された公式により、関連する自動表現が離散系列であるような特別な場合において、交差特異ホモロジーのハッセ＝ヴァイルゼータ関数の計算が可能になる。
• 公式に現れるコスタント–ウェイの項が、安定的離散系列特徴と一致することが示され、エンデスコピック転送のコホモロジー的実現が得られる。
• 本手法により、アービュールとタイビが開発した自動表現のエンデスコピック分類と、直交シムーラ多様体のコホモロジーとの間の明確な関係が確立される。
• これらの結果により、跡公式技法と自動表現のL関数を用いた、シムーラ多様体の算術的ゼータ関数を計算するための基盤的枠組みが提供される。