[論文レビュー] The stable cohomology of automorphisms of free groups with coefficients in the homology representation

Oscar Randal‐Williams|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、スペクトル系列とラベル付きグラフ空間の同調安定性の予想を用いて、Aut(Fₙ) および Out(Fₙ) の安定的有理コホモロジーを、ホモロジー表現 H の対称冪および外冪の係数に関して計算している。低次のコホモロジーは、⋀^qH の場合、q においてのみ非自明であり、これは Q^ρ(q) に同型であり、ρ(q) は q の整数分割の数である。同様に、Sym^qH の場合、q = 1 で *=1 のみ非自明であり、それ以外は消える。

ABSTRACT

We study the cohomology of Aut(F_n) and Out(F_n) with coefficients in the modules \wedge^q H, \wedge H^*, Sym^q H or Sym^q H^*, where H is the Out(F_n)-module obtained by abelianising the free group F_n. For reasons which are not conceptually clear, taking coefficients in H and its related modules behaves in a far less trivial way than taking coefficients in H^* and its related modules. Based on a conjectural homology stability theorem for spaces of graphs labeled by a simply connected background space, we give a stable integral calculation of these groups in low degrees, and modulo a further conjecture a stable rational calculation in all degrees.

研究の動機と目的

• Aut(Fₙ) および Out(Fₙ) の安定的有理コホモロジーを、⋀^qH、⋀^qH*、Sym^qH、Sym^qH* の係数に関して計算すること。
• Fₙ のアーベル化 H とその双対 H* の係数における挙動の非対称性を理解すること。H-係数では非自明なコホモロジーが得られるが、H*-係数では低次のコホモロジーは消える。
• 単連結空間でラベル付けされたグラフ空間の同調安定性に基づく予想的枠組みを確立し、低次の安定的計算を可能にする。
• Lerayフィルトレーションを、スペクトル系列およびBecker–Gottlieb転送を用いて、半直積 Aut(Fₙ) ⋉ H および Out(Fₙ) ⋉ H のコホモロジーに適用すること。
• q の整数分割の数に明示的な依存関係を持つ、安定範囲における H*(Aut(Fₙ); ⋀^qH_Q) および H*(Out(Fₙ); ⋀^qH_Q) の完全な有理コホモロジー計算を提供すること。

提案手法

• Fₙ → Aut(Fₙ) → Out(Fₙ) の拡張に対してLeray–Hochschild–Serreスペクトル系列を用い、H およびそのテンソル冪の係数に関するコホモロジーを解析する。
• GalatiusのBOut(Fₙ)の同調安定性定理（タイプ ∨ⁿS¹ のグラフ空間としてモデル化）を、ラベル付きグラフ空間の同調安定性の予想を用いて、係数系へと拡張する。
• BAut(Fₙ) ⋉ H* および BOut(Fₙ) ⋉ H* を含むファイブレーションに関連するスペクトル系列を用い、全空間のコホモロジーを計算する。
• Becker–Gottlieb転送を用いて、H*(Out(Fₙ) ⋉ H*) から H*(Aut(Fₙ) ⋉ H*) へのクラスの持ち上げを行い、制限写像の単射性を導出する。
• Conjecture B（ラベル付きグラフ空間の同調安定性）および Conjecture C（スペクトル系列の収束）に依存し、安定的有理コホモロジー計算を導出する。
• 普遍係数定理を用いてコホモロジー計算からホモロジー結果を回復し、有理化された対称冪および外冪がテンソル冪の部分加群であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー表現 H の q 次外冪の係数を用いた Aut(Fₙ) の安定的有理コホモロジーは何か？
• RQ2 H とその双対 H* は双対性を持つが、H を係数にとったコホモロジーは H* を係数にとったものとは著しく異なる。その理由は何か？
• RQ3 H*(Aut(Fₙ) ⋉ H; Q) におけるLerayフィルトレーションは、特性類 χ₂, χ₄, ... の次数とどのように関係しているか？
• RQ4 Out(Fₙ) の Sym^qH および ⋀^qH 係数における安定的有理コホモロジーは何か？また、q の整数分割の数にどのように依存するか？
• RQ5 頂点にラベルが付けられたグラフ空間に関連するスペクトル系列は、非自明な係数を用いた Aut(Fₙ) および Out(Fₙ) のコホモロジーをどの程度計算できるか？

主な発見

• 2* ≤ n - 2q - 3 のとき、H*(Aut(Fₙ); ⋀^qH_Q) は *=q を除きすべてゼロであり、*=q においては Q^ρ(q) に同型である。ここで ρ(q) は q の整数分割の数である。
• 2* ≤ n - 2q - 5 のとき、H*(Out(Fₙ); ⋀^qH_Q) は *=q を除きすべてゼロであり、*=q においては Q^{ρ̄(q)} に同型である。ここで ρ̄(q) は 1 を含まない q の整数分割の数である。
• 2* ≤ n - 4q - 3 のとき、H*(Aut(Fₙ); Sym^qH_Q) は q=1 かつ *=1 の場合を除きすべてゼロであり、その場合に限り Q に同型である。
• 2* ≤ n - 4q - 5 のとき、H*(Out(Fₙ); Sym^qH_Q) は恒等的にゼロである。
• クラス χ₂ ∈ H²(BAut(Fₙ) ⋉ H*; Q) は Leray フィルトレーション 0 に属するが、i > 1 の χ₂ᵢ はフィルトレーション i に属し、モノミアル χ₂^a₁χ₄^a₂⋯χ₂ₙ^aₙ はフィルトレーション 2a₂ + ⋯ + naₙ を持つ。
• Conjecture C の下で、H*(BAut(Fₙ) ⋉ H*; Q) のスペクトル系列は有理的に収束し、関連する次数付き環は安定範囲で Q[χ₄, χ₆, χ₈, ...] に同型である。