[論文レビュー] The stable module category of a general ring

Daniel Bravo, James Gillespie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 85

ひとこと要約

本稿では、任意の環 R に対して、R-加群の有界でない複体のクウェイルンモデル構造を用いて、FP∞-加群を用いてゴレンシュタイン射影的・インジェクティブ加群を一般化することで、2つの三角的安定加群カテゴリを構成する。主な貢献は、射影的およびインジェクティブ加群を両方ともゼロに写す普遍的構成であり、これは準フロベニウス環およびゴレンシュタイン環の古典的安定加群カテゴリを統一する。

ABSTRACT

For any ring R we construct two triangulated categories, each admitting a functor from R-modules that sends projective and injective modules to 0. When R is a quasi-Frobenius or Gorenstein ring, these triangulated categories agree with each other and with the usual stable module category. Our stable module categories are homotopy categories of Quillen model structures on the category of R-modules. These model categories involve generalizations of Gorenstein projective and injective modules that we derive by replacing finitely presented modules by modules of type FP-infinity. Along the way, we extend the perfect duality between injective left modules and flat right modules that holds over Noetherian rings to general rings by considering weaker notions of injectivity and flatness.

研究の動機と目的

• 準フロベニウス環やゴレンシュタイン環に限らない範囲で、安定加群カテゴリの構成を一般化すること。
• 射影的およびインジェクティブ R-加群を両方ともゼロに写す普遍的な完全関手を持つ三角的カテゴリを定義すること。
• 有限生成表示加群の代わりに FP∞-型加群を用いることで、任意の環に対するゴレンシュタイン同調代数を拡張すること。
• ファイブレーションまたはコファイブレーション対象が一般化ゴレンシュタインインジェクティブまたは射影的加群であるような、有界でない R-加群複体のカテゴリにモデル構造を確立すること。
• 安定導来カテゴリをホモトピーカテゴリとして回復し、ゴレンシュタインの場合に既存の構成と整合することを示すこと。

提案手法

• 有限生成射影的加群による射影的分解を許容する FP∞-型加群の概念を導入する。
• すべての FP∞-加群 M に対して Ext¹(M, I) = 0 を満たす加群として、絶対的クリーン加群を定義し、絶対純粋加群の概念を一般化する。
• R-加群の有界でない複体のカテゴリに2つのクウェイルンモデル構造を構成する：1つ目はすべての複体がコファイブレーション的であり、ファイブレーション対象が絶対的クリーン加群の複体であるもの。2つ目はすべての複体がファイブレーション的であり、コファイブレーション対象がゴレンシュタイン射影的加群の複体であるもの。
• これらのモデル構造のホモトピーカテゴリを用いて、安定加群カテゴリ Stmod(R) を定義する。このカテゴリは三角的であり、完全関手 γ: R-Mod → Stmod(R) を持つ。
• γ が射影的およびインジェクティブ R-加群を両方ともゼロに写すことを証明し、Stmod(R) がこの性質に関して普遍的であることを示す。
• 絶対的クリーン加群とレベル加群の間に双対ペアを確立し、これによりすべての射影的 P に対して Hom(C, P) の完全性によって AC-ゼロコホモロジー複体を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の環 R に対して、準フロベニウス環やゴレンシュタイン環に限らず、普遍的安定加群カテゴリを構成できるか？
• RQ2 有限生成表示加群の代わりに FP∞-加群を用いることで、任意の環に対するゴレンシュタイン同調代数をどのように一般化できるか？
• RQ3 有界でない R-加群複体のカテゴリにどのようなモデル構造を導入すると、射影的およびインジェクティブ加群が両方ともゼロに写る三角的ホモトピーカテゴリが得られるか？
• RQ4 提案された2つの安定加群カテゴリが、古典的安定加群カテゴリと一致する条件は何か？
• RQ5 クラウゼの安定導来カテゴリは、これらのモデル構造のいずれかのホモトピーカテゴリとして回復可能か？

主な発見

• 任意の環 R に対して、R-加群の有界でない複体のクウェイルンモデル構造のホモトピーカテゴリとして、2つの三角的安定加群カテゴリが構成される。
• この構成は古典的安定加群カテゴリを一般化する：R が準フロベニウス環またはゴレンシュタイン環であるとき、新しいカテゴリは標準的な Stmod(R) と一致する。
• 安定加群カテゴリ Stmod(R) は、射影的およびインジェクティブ R-加群を両方ともゼロに写す普遍的完全関手 γ: R-Mod → Stmod(R) を持つ。
• 1つのモデル構造におけるファイブレーション対象は、FP∞-加群を用いた Ext¹ の消失によって定義される絶対的クリーン加群の複体である。
• 他のモデル構造におけるコファイブレーション対象は、FP∞-加群を用いた分解条件によって定義されるゴレンシュタイン射影的加群の複体である。
• AC-ゼロコホモロジー複体（完全ゼロコホモロジー複体の一般化）が、しっかりゼロコホモロジー複体と同値であることが示され、すべての射影的加群 P に対して Hom(C, P) の完全性によって特徴付けられる。