[論文レビュー] The Stable Symplectic Category and Geometric Quantization

Nitu Kitchloo|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、スケーリングにより非可換な射の問題を解消するため、ウェインシュタインのシンプレクティック圏の安定化である安定シンプレクティック圏を導入する。この圏はスペクトラの圏上での豊かさにより、射が無限次ループ空間として埋め込まれたラグラングィアン対応で表され、幾何的量子化の枠組みを保ちつつ、整合的な合成を保証する。これにより、シンプレクティック位相幾何学および量子化理論の強固な圏的基盤が得られる。

ABSTRACT

We study a stabilization of the symplectic category introduced by A. Weinstein as a domain for the geometric quantization functor. The symplectic category is a topological category with objects given by symplectic manifolds, and morphisms being suitable lagrangian correspondences. The main drawback of Weinstein's symplectic category is that composition of morphisms cannot always be defined. Our stabilization procedure rectifies this problem while remaining faithful to the original notion of composition. The stable symplectic category is enriched over the category of spectra (in particular, its morphisms can be described as infinite loop spaces representing the space of immersed lagrangians), and it possesses several appealing properties that are relevant to deformation, and geometric quantization.

研究の動機と目的

• ウェインシュタインのシンプレクティック圏における射の合成が常に定義されないという根本的問題に対処すること。
• ラグラングィアン対応を通じて元の合成の概念を保ちつつ、シンプレクティック圏を安定化すること。
• スペクトラの圏上での豊かさを持つ圏を構成し、射が埋め込まれたラグラングィアンの無限次ループ空間として表されることを保証すること。
• 幾何的量子化および変形理論と整合する圏的枠組みを提供すること。
• 函手的幾何的量子化を可能にする、安定的かつ整合的な圏を確立すること。

提案手法

• スペクトラの圏上での豊かさによりシンプレクティック圏を安定化させ、ホモトピー的整合性を保証すること。
• 射を埋め込まれたラグラングィアン対応をパラメータ化する無限次ループ空間として表現すること。
• 安定ホモトピー論の道具を用いて、安定な設定における合成を整合的かつ良好に定義すること。
• ウェインシュタインの元の射の定義（ラグラングィアン対応によるもの）を忠実に維持すること。
• 変形理論的および量子化函手をサポートするため、スペクトラ的豊かさを適用すること。
• スペクトラの構造を活用し、ラグラングィアン射の空間を無限次ループ空間としてモデル化することで、ホモトピー的整合性による合成を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてシンプレクティック圏を安定化させ、元の幾何的構造を保ちつつ射の合成を整合的に定義できるか？
• RQ2 スペクトラは、函手的幾何的量子化をサポートするためのシンプレクティック圏の豊かさをどのように果たすか？
• RQ3 安定シンプレクティック圏は、シンプレクティック幾何学における変形理論とどのように関係するか？
• RQ4 安定圏は、ウェインシュタインのシンプレクティック圏の元の合成規則をどのように保存するか？
• RQ5 幾何的量子化を安定化されたシンプレクティック圏上で一貫して函手として定義できるか？

主な発見

• 安定シンプレクティック圏は、スペクトラの豊かさによるもので、ウェインシュタインのシンプレクティック圏における合成の問題を解決する。
• 安定シンプレクティック圏における射は、埋め込まれたラグラングィアンの無限次ループ空間として表され、ホモトピー的整合性が保証される。
• 射の合成は今や整合的であり、元のラグラングィアン対応構造と整合的である。
• この圏は、幾何的量子化の自然な函手的構造を備えており、一貫した量子化手続きを可能にする。
• この構成は、元のシンプレクティック圏の本質的な幾何的および位相的特徴を保ちつつ、その圏的強度を高めている。
• 安定シンプレクティック圏は、シンプレクティック位相幾何学における変形理論的および量子化函手の適切な定義域を提供する。