[論文レビュー] The stack of local systems with restricted variation and geometric Langlands theory with nilpotent singular support

D. Arinkin, Dennis Gaitsgory+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、制限された変動を伴う局所系のスタック——これは、ℓ-adic や de Rham の設定を含む、可 Constructible ベルシューティー理論におけるカテゴリカルな幾何学的ラングランズ対応の洗練された定式化を可能にする、新しい幾何的対象である。Bun_G 上の極小特異的補題を持つ層に対して、スペクトル分解定理を確立し、そのような層がベイリンソンのスペクトル射影子を介してヘッケ固有層によって生成されることを示した。これにより、自動形式層と自動形式関数との間に明確なカテゴリカル同値が確立される。

ABSTRACT

We define a new geometric object--the stack of local systems with restricted variation. We formulate a version of the categorical geometric Langlands conjecture that makes sense for any constructible sheaf theory (such as l-adic sheaves). We formulate a conjecture that makes precise the connection between the category of automorphic sheaves and the space of automorphic functions.

研究の動機と目的

• 可 Constructible ベルシューティー理論（ℓ-adic や de Rham の設定を含む）にわたる幾何ラングランズの均一な定式化を可能にする、新たな幾何的対象——制限付き変動を伴う局所系のスタック——を定義すること。
• 可 Constructible ベルシューティー理論（ℓ-adic や de Rham の層を含む）に適用可能なカテゴリカル版の幾何ラングランズ予想を定式化すること。
• 極小特異的補題を持つ自動形式層の圏と自動形式関数の空間との間の明確な対応関係を、スペクトル分解を通じて確立すること。
• Bun_G 上の極小特異的補題を持つ層の圏がコンパクト生成可能であり、ベイリンソンのスペクトル射影子を用いたスペクトル分解を備えていることを証明すること。
• 理論をベティおよび de Rham の設定へと拡張し、局所系の異なる実現法間における整合性と同値性を示すこと。

提案手法

• Tannakian形式主義と ind-表現技法を用いて、モノドロミー変動が制限された局所系を分類する前スタック LocSysrestr_G(X) を導入する。
• 変形理論を確立し、余接複体を計算することで、点の形式的近傍を分析することにより、LocSysrestr_G(X) の ind-表現性を証明する。
• 均一化準同型と固有性の議論を用いて、問題を代数的群のケースに還元する。剛性および既約性の結果を活用する。
• 因子化ホモロジーと Ran 空間技法を用いて、ヘッケ関手のコロイミットとしてベイリンソンのスペクトル射影子を構成し、普遍的スペクトル射影子を定義する。
• スペクトル射影子が局在化関手として作用することを証明し、その本質的像が極小特異的補題上に台を持つ層であることを同定する。
• 双対性および 1-アフィン性の技法を、写像スタックの QCoh に適用することで、自動形式層の圏のコンパクト生成性と半剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ-adic、de Rham、ベティのベルシューティー理論といった、異なるベルシューティー理論にわたる幾何ラングランズ対応を、どのように均一に定式化できるか？
• RQ2 モノドロミー変動が制限された局所系をパラメトライズする正しい幾何的対象は何か？ そして、古典的局所系スタックとはどのように関係するか？
• RQ3 ベイリンソンのスペクトル射影子は、極小特異的補題を持つ層の圏にどのように作用するか？ その本質的像は何か？
• RQ4 カテゴリカルな設定において、極小特異的補題を持つ自動形式層と自動形式関数の間の正確な関係は何か？
• RQ5 このような層の圏はコンパクト生成可能か？ その生成子は何か？

主な発見

• LocSysrestr_G(X) は ind-表現可能であり、ベティ、de Rham、ℓ-adic の設定を含む、さまざまな幾何的文脈において均一に構成可能である。
• Bun_G 上の極小特異的補題を持つ層の圏 ShvNilp(Bun_G) はコンパクト生成可能であり、スペクトル射影子から生じる生成子の集合を有する。
• ベイリンソンのスペクトル射影子は、本質的像を極小特異的補題上に台を持つ層に同定し、圏のスペクトル分解を確立する。
• スペクトル射影子は Ran 空間上のコロイミットとして構成され、その作用により自動形式層がヘッケ固有層へと局在化される。
• LocSysrestr_G(X) の形式的粗いモジュライ空間は、性質 W および A を満たし、双対性および 1-アフィン性と整合する。
• スペクトル分解定理は、ベティ、de Rham、およびエタールの文脈において普遍的に成り立ち、コhomological および Tannakian 手法による明示的同定が可能である。